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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 141

Considere a bola de tênis do Problema 9.134. Use as equações para coeficiente de arrasto dadas no Problema 9.132, e um esquema de integração numérica (por exemplo, regra de Simpson) para calcular o tempo e a distância requeridos para a bola alcançar 95 % da sua velocidade terminal.

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais um problema de Mecânica dos Fluidos. Primeiramente, sabemos que, por equilíbrio, na velocidade terminal, o peso deve igualar a força de arrasto:

F A = M g

Para relacionarmos a velocidade com a força, temos que usar a seguinte fórmula:

F A = 1 2 ρ A V 2 C A

Assumindo um coeficiente de arrasto de 0,5, temos que a velocidade terminal é:

V t = 2 M g ρ A C A

V t = 23,8   m / s

Checando o número de Reynolds que assumimos:

R e = V t D v = 1,05 × 10 5

Logo, podemos ver que o coeficiente de arrasto que assumimos é coerente.

Para o movimento antes da velocidade terminal, a segunda lei de Newton é:

M a = M d V d t = M g - 1 2 ρ V 2 A C A

Logo, o tempo para atingir 95% da velocidade terminal é obtido ao separarmos as variáveis:

t = ∫ 0 0,95 V t V g - ρ A C t 2 M V 2 d V

Já a distância para atingir a velocidade terminal, pode ser obtida pela segunda lei de Newton (de novo):

M a = M d V d t = M g - 1 2 ρ V 2 A C A

Portanto:

x = ∫ 0 0,95 V t V g - ρ A C t 2 M V 2 d V

Passo 2

As integrais que a gente chegou são difíceis. Vamos aplicar a fórmula de Simpson para resolvê-las:

∫ f V d V = ∆ V 3 f V 0 + 4 f V 1 + 2 f V 2 + 4 f V 3 + f V N

Onde ∆ V   é o intervalo entre as velocidades nos pontos 0 ( V 0 ) , 1 ( V 1 ) etc, logo:

V 0 = 0

V N = 0,95 V t

∆ V = 0,95 V t N

Logo, fazendo os cálculos:

t = 4,69 s

x = 70,9 m

Resposta

t = 4,69 s

x = 70,9 m

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