Considere cascas cilíndrica e esférica com superfícies interna e externa, em e , mantidas a temperaturas uniformes e , respectivamente. Se houver geração de calor uniforme no interior das cascas, obtenha expressões para as distribuições de temperaturas, para os fluxos térmicos e para as taxas de transferência de calor, para a transferência unidimensional, na direção radial e em regime estacionário. Compare os seus resultados com aqueles resumidos no Apêndice C.

Para resolver essa questão, vamos começar aplicando a equação de condução de calor de Fourier para casca cilíndrica. Assim temos:

Integrando a expressão acima, vamos obter a solução geral da seguinte forma:

Aqui,  é o raio da casca cilíndrica, e  são as constantes.

Agora, vamos aplicar as condições de contorno na equação 1 para encontrar quem são as constantes e . Quando temos que . Ou seja:

Vamos aplicar também a segunda condição de contorno na equação 1. Quando temos que . Ou seja:

Para encontrar vamos subtrair a equação 2 da equação 3. Assim temos:

Para encontrar , vamos substituir na equação 3. Assim temos:

Agora, vamos substituir e na equação 1 pelos resultados que encontramos na passo acima. Assim temos:

Portanto, a distribuição de temperatura na casca cilíndrica é:

Temos que a equação de distribuição do fluxo de calor é dada pela seguinte expressão:

Aqui,  é a condutividade térmica da casca cilíndrica e  é o gradiente de temperatura ao longo da direção radial. Então, vamos diferenciar a equação da distribuição de temperatura em relação à . Assim temos:

Agora, vamos substituir a expressão acima na equação de distribuição do fluxo de calor.

Portanto, a equação de distribuição do fluxo de calor para a casca cilíndrica é:

Temos também que a distribuição da taxa de calor para a casca cilíndrica é dada por:

Aqui  é o comprimento da casca cilíndrica. Agora, basta substituir na expressão acima e termos o resultado desejado. Assim temos:

Portanto, a distribuição da taxa de calor na casca cilíndrica é:

Para uma casca esférica, vamos aplicar a equação de condução de calor de Fourier. Assim temos:

Integrando a expressão acima, vamos obter a solução geral da seguinte forma:

Aqui,  é o raio da casca esférica, e  são as constantes.

Agora, vamos aplicar as condições de contorno na equação 4 para encontrar quem são as constantes e . Quando temos que . Ou seja:

Vamos aplicar também a segunda condição de contorno na equação 4. Quando temos que . Ou seja:

Para encontrar vamos subtrair a equação 5 da equação 6. Assim temos:

Para encontrar , vamos substituir na equação 6. Assim temos:

Agora, vamos substituir e na equação 4 pelos resultados que encontramos na passo acima. Assim temos:

Portanto, a distribuição de temperatura na casca cilíndrica é:

Temos que a equação de distribuição do fluxo de calor é dada pela seguinte expressão:

Aqui,  é a condutividade térmica da casca esférica e  é o gradiente de temperatura ao longo da direção radial. Então, vamos diferenciar a equação da distribuição de temperatura em relação à . Assim temos:

Agora, vamos substituir a expressão acima na equação de distribuição do fluxo de calor.

Portanto, a equação de distribuição do fluxo de calor para a casca esférica é:

Temos também que a distribuição da taxa de calor para a casca esférica é dada por:

Aqui  é o comprimento da casca esférica. Agora, basta substituir na expressão acima e termos o resultado desejado. Assim temos:

Portanto, a distribuição da taxa de calor na casca esférica é: