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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 65

Considere a cavidade com três superfícies mostrada na figura. A placa inferior (A1) é um disco negro com 200 mm de diâmetro que é alimentado por uma taxa térmica de 10.000 W. A placa superior (A2), um disco coaxial a A1, tem uma superfície cinza e difusa com ε2 = 0,8 e é mantida a T2 = 473 K. As laterais cinzas e difusas entre as placas são perfeitamente isoladas. Admita que a transferência de calor por convecção seja desprezível.

Determine a temperatura de operação da placa inferior T1 e a temperatura da lateral isolada termicamente T3.

Passo 1

Vamos lá!! O enunciado diz pra a gente que as placas laterais são perfeitamente isoladas e o que isso quer dizer?!

Se trata de uma superfície rerradiante!! O que a gente quer é achar a temperatura dessa superfície e da placa inferior, para isso vamos usar a equação 13 - 30 do livro:

q 1 = - q 2 = σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 1 A 1 F 2 3 + 1 A 1 F 2 3 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Onde a gente tem as superfícies 1 e 2 e uma terceira R , que é a superfície isolada!

Temos q 1 e podemos encontrar T 1 :

T 1 = T 2 4 + q 1 σ 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 1 A 1 F 1 3 + 1 A 2 F 23 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2 1 4

Passo 2

Agora a gente vai atrás das variáveis que o enunciado não da diretamente pra a gente!

A 1 = π D 2 4 = π × 0,2 2 4

A 1 = 0,0314   m 2

A 2 = A 1

Pela regra da soma, temos:

F 12 + F 13 = 1

Na tabela 13 - 2 achamos a seguinte relação para discos coxiais paralelos:

F 12 = 1 2 S - S 2 - 4 r 2 r 1 2 1 2

Onde S é:

S = 1 + 1 + R 2 2 R 1 2

R 1 e R 2 :

R 1 = r 1 L ; R 2 = r 2 L

Substituindo:

R 1 = R 2 = 0,1 0,2 = 0,5 ;

S = 1 + 1 + 0,5 2 0,5 2 = 6,0

F 12 = 1 2 6,0 - 6,0 2 - 4 0,1 0,1 2 1 2 = 0,172

Agora podemos achar F 13 :

F 13 = 1 - F 12

Substituindo:

F 13 = 1 - 0,172 = 0,828

Por simetria, podemos dizer que:

F 23 = F 13 = 0,828

Passo 3

Sabendo que σ = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4 e lembrando que a superfície 1 é negra, portanto ε 1 = 1 , o enunciado da também:

ε 2 = 0,8

T 2 = 473   K

q = 10000   W

Podemos finalmente achar T 1 :

T 1 = T 2 4 + q 1 σ ( 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 13 + 1 A 2 F 23 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2 1 4

Como A 1 = A 2 então podemos colocar em evidência, e como ε 1 = 1 , já podemos cortar o termo 1 - ε 1 ε 1 A 1

T 1 = T 2 4 + q 1 σ 1 A 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 13 + 1 A 2 F 23 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2 1 4

Substituindo:

T 1 = 473 4 + 10000 5,67 × 10 - 8 1 0,0314 × 1 0,172 + 1 0,0314 × 0,823 + 1 0,0314 × 0,823 - 1 + 1 - 0,8 0,8 1 4

Calculando:

T 1 = 1225   K

Passo 4

Agora vamos atrás de T 3 !

Para isso vamos usar a equação 13 - 31 :

J 1 - J 3 1 / F 13 = J 3 - J 2 1 / F 23

Ué, mas cadê T 3 ?!! Como a superfície 3 é rerradiante, temos a seguinte relação:

J 3 = σ T 3 4

E é ai que achamos T 3 !! Mas primeiro, quem é J 1 e J 2 ? A superfície 1 é negra, portanto:

J 1 = σ T 1 4

Já para achar J 2 podemos usar a equação 13 - 19   do livro:

q 2 = E b 2 - J 2 ( 1 - ε 2 ) / ε 2 A 2

Sabendo que:

E b 2 = σ T 2 4

Isolando J 2 e substituindo E b 2 :

J 2 = σ T 2 4 - q 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

Substituindo os valores:

J 2 = 5,67 × 10 - 8 × 473 4 - 10000 × 1 - 0,8 0,8 × 0,0314 = 82,405   W / m 2

Passo 5

Agora podemos calcular J 3 :

5,67 × 10 - 8 × 1225 4 - J 3 1 0,172 = J 3 - 82,405 1 0,172

Calculando:

J 3 = 105 ,   043   W / m 2

E finalmente podemos achar T 3 :

T 3 = 105 ,   043 5,67 × 10 - 8 1 4

Calculando:

T 3 = 1167   K

Uhuuuul!!!

Resposta

T 1 = 1225   K

T 3 = 1167   K

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