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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 56

Considere uma corrente uniforme de intensidade V inclinada com um ângulo a (Figura P 10 - 56 ). Supondo escoamento irrotacional incompressível planar, determine a função potencial de velocidade e a função de corrente. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oioi, xentê! Nessa questão vamos determinar a função potencial de velocidade e a função de corrente mas de uma forma diferente pois agora temos uma ilustração em que apresenta intensidade V inclinada com um ângulo a . Go!

Começamos buscando nossas componentes em coordenadas cartesianas:

u = ∂ ϕ ∂ x = ∂ ψ ∂ y = V cos ⁡ a

v = ∂ ϕ ∂ y = - ∂ ψ ∂ x = V sin ⁡ a

Em relação a x temos x = V cos ⁡ a , uma vez que o ângulo é próximo do cateto adjacente; e para y temos V sin ⁡ a , pois é próximo do cateto oposto.

Passo 2

Agora integramos o primeiro componente para isolar ϕ :

∂ ϕ = u   d x       ∴       ∫ 1 d ϕ = ∫ V cos ⁡ a     d x         ∴             ϕ = V x cos ⁡ a   + f ( y )

Assim, podemos diferenciar o resultado em relação a y , gerando a função:

∂ ϕ ∂ y = f ' y = v = V sin ⁡ a

Integramos:

f y = ∫ V sin ⁡ a d y

f y = V y sin ⁡ a + C

Unindo os componentes:

ϕ = V x cos ⁡ a + V y sin ⁡ a

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para a função corrente, o primeiro componente para isolar ψ :

∂ ψ = u   d y       ∴       ∫ 1 d ψ = ∫ V cos ⁡ a     d y         ∴             ψ = V y cos ⁡ a   + g ( x )

Assim, podemos diferenciar o resultado em relação a y , gerando a função:

∂ ψ ∂ x = - g ' ( x ) = - v = - V sin ⁡ a

Integramos:

g x = - ∫ V sin ⁡ a d x

g x = - V x sin ⁡ a + C

Unindo os componentes:

  ψ = V y cos ⁡ a - V x sin ⁡ a

Prontinho!!

Resposta

ϕ = V x cos ⁡ a + V y sin ⁡ a

ψ = V y cos ⁡ a - V x sin ⁡ a

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