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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 58

Considere uma linha de vórtice irrotacional de intensidade Γ no plano x y ou r θ . As componentes da velocidade são:

u r = ∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = 0 e u θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r = Γ 2 π r

Gere expressões para a função potencial de velocidade e de função corrente para a linha de vórtice, mostrando todo o seu trabalho.

Passo 1

Bom, nesse problema vamos gerar as expressões de função potencial de velocidade e a função de corrente. Go!!

Para a função de corrente, precisamos integrar o componente u r em relação a θ , associando ao componente da função corrente ∂ ψ ∂ θ = 0 e isolar ψ . Como não temos valores, então:

ψ = f ( r )

Assim, podemos diferenciar o resultado para r :

∂ ψ ∂ r = - f ' r = - u θ = - Γ 2 π r

Integrando:

f r = - ∫ Γ 2 π r d r

f r = - Γ 2 π r ln ⁡ r + C

Por fim, unindo os componentes:

ψ = - Γ 2 π r ln ⁡ r

Passo 2

Para a função potencial, fazemos a mesma coisa. Integramos a variável r , associando ao componente da função corrente ∂ ϕ ∂ r = 0 e isolar ϕ . Como não temos valores, então:

∂ ϕ = 0   ∂ r

ϕ = f ( θ )

Assim, podemos diferenciar o resultado para θ :

∂ ϕ ∂ θ = f ' θ = r u t h e t a = Γ 2 π

Integrando:

f θ = ∫ Γ 2 π d θ

f θ = Γ 2 π θ + C

Por fim, unindo os componentes:

ϕ = Γ 2 π θ

Prontinho!!

Resposta

ψ = - Γ 2 π r ln ⁡ r

ϕ = Γ 2 π θ

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