Enunciado

Considere duas placas paralelas muito grandes. A placa inferior é mais quente do que a superior, que é mantida a uma temperatura constante de T 1 =   330   K . As placas estão separadas por L = 0,1 m e no espaço entre as duas superfícies há ar à pressão atmosférica. O fluxo térmico a partir da placa inferior é de q ″ =   250 W m 2 .

  1. Determine a temperatura da placa inferior e a razão entre os fluxos térmicos convectivo e radiante para ε 1 = ε 2 =   0,5 . Calcule as propriedades do ar a T = 350 K.
  2. Repita a parte (a) para ε 1 = ε 2 = 0,25 e 0,75 .

Passo 1

Animados para seguir que eu sei, não é?

Vamos dar uma desenhada?

Agora que vimos o que está acontecendo podemos começar !!

A letra (a) a temperatura da placa inferior e a razão entre os fluxos térmicos convectivo e radiante para ε 1 = ε 2 =   0,5 , tranquilo?

Como o fluxo de calor é composto por convecção e radiação, o fluxo total é:

q " = q " c o n v + q " r a d

O calor convectivo nós já sabemos:

q " c o n v = h - T 2 - T 1

Mas ainda não temos o coeficiente convectivo, não é?

Para descobrir nós podemos usar a seguinte relação:

h - = k L 0,069 R a L 1 3 P r 0,074

Lembrando que:

R a L = g β T 2 - T 1 L 3 v α

Colocando no calor convectivo:

q " c o n v = k L 0,069 g β T 2 - T 1 L 3 v α 1 3 P r 0,074 T 2 - T 1

q " c o n v = 0,069 k g β T 2 - T 1 v α 1 3 P r 0,074 T 2 - T 1

A taxa removida por radiação pode ser escrita como:

q " r a d = σ T 2 4 - T 1 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

E substituindo no calor total:

q " = σ T 2 4 - T 1 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1 + 0,069 k g β T 2 - T 1 v α 1 3 P r 0,074 T 2 - T 1

Passo 2

Sabemos que:

q ″ =   250 W m 2

T 1 =   330   K

ε 1 = ε 2 = 0,5

g = 9,81   m / s 2

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

β = 1 T = 1 350   K

Avaliando as propriedades do ar para a temperatura dada, T = 350   K , na Tabela A – 4:

k = 0,03 W m K

α = 2,99 × 10 - 5 m 2 s

v = 2,092 × 10 - 5 m 2 s

P r = 0,7

Substituindo:

250 = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - 330 4 1 0,5 + 1 0,5 - 1 + 0,069 0,03 9,81 1 350 T 2 - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 T 2 - 330

Resolvendo:

T 2 = 373   K

Essa foi moleza, não foi? Mas ainda não terminamos ...

Passo 3

Bom, a letra (a) ainda nos pediu a razão entre os fluxos térmicos convectivo e radiante, sendo assim nós vamos substituir a temperatura e achar cada um deles:

q " c o n v = 0,069 0,03 9,81 1 350 373 - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 373 - 330 = 108 W m 2

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 373 4 - 330 4 1 0,5 + 1 0,5 - 1 = 142 W m 2

Fazendo a razão:

q " c o n v q " r a d = 108 W m 2 142 W m 2

q " c o n v q " r a d = 0,76

Agora sim !! Finalizamos a letra (a) !!

Passo 4

Na letra (b) nós vamos repetir o que fizemos antes, mas aqui usaremos para ε 1 = ε 2 = 0,25 :

250 = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - 330 4 1 0,25 + 1 0,25 - 1 + 0,069 0,03 9,81 1 350 T 2 - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 T 2 - 330

T 2 = 388,4   K

E achando agora os calores convectivos e radioativos:

q " c o n v = 0,069 0,03 9,81 1 350 388,4   - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 388,4   - 330 = 162 W m 2

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 388,4   4 - 330 4 1 0,5 + 1 0,5 - 1 = 88 W m 2

Fazendo a razão:

q " c o n v q " r a d = 1 62 W m 2 88 W m 2

q " c o n v q " r a d = 1,84

Passo 5

E para finalizar a letra (b) nós vamos fazer ε 1 = ε 2 = 0 , 7 5 :

250 = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - 330 4 1 0,7 5 + 1 0 , 7 5 - 1 + 0,069 0,03 9,81 1 350 T 2 - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 T 2 - 330

T 2 = 361,6   K

E achando agora os calores convectivos e radioativos:

q " c o n v = 0,069 0,03 9,81 1 350 361,6   - 330 2,092 × 10 - 5 2,99 × 10 - 5 1 3 0,7 0,074 361,6   - 330 = 7 2 W m 2

q " r a d = 5,67 × 10 - 8 361,6   4 - 330 4 1 0,5 + 1 0,5 - 1 = 17 8 W m 2

Fazendo a razão:

q " c o n v q " r a d = 7 2 W m 2 17 8 W m 2

q " c o n v q " r a d = 0 , 4

Legal, não foi ?!

Resposta

  1. T 2 = 373   K     |     q " c o n v q " r a d = 0,7 6
  2. T 2 = 388,4   K     |     q " c o n v q " r a d = 1,84
  3. T 2 = 363,6   K     |     q " c o n v q " r a d = 0 , 40
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