Enunciado

Considere o escoamento de água através de um canal em forma de V. Determine o ângulo θ que o canal faz com a horizontal para o qual o escoamento é mais eficiente.

Passo 1

Bora pra mais uma questão!!

Queremos dimensionar um canal triangular que tenha um escoamento mais eficiente possível. Para isso temos que descobrir quem é θ !

Em um canal aberto a melhor secção transversal é a que tem o menor perímetro possível para determinada área. E se a gente quer encontrar o mínimo o que a gente faz?!

Muito bem, a gente deriva e iguala a zero!!

d p d θ = 0

Passo 2

Mas primeiro temos que descobrir uma equação para o perímetro em função de θ , sabendo que:

p = 2 x

Sabendo que:

sin ⁡ θ = y x

Então:

p = 2 x sin ⁡ θ

Mas a gente também não conhece x temos que escrever ele em função de θ , então talvez esse não seja o caminho...

Vamos escrever tudo que a gente puder sobre as dimensões do canal pra ver onde a gente pode chegar:

cos ⁡ θ = b x    

A área transversal é dada por:

A c = b y

Opaa, apareceu o b e o y , então podemos substituir:

A c = ( x cos ⁡ θ ) × x   sin ⁡ θ = x 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica, sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

A c = x 2 2 sin ⁡ 2 θ

Isolando o x :

x = 2 A c sin ⁡ 2 θ  

Agora substituindo na equação do perímetro:

p = 2 2 A c sin ⁡ 2 θ  

Passo 3

Conseguimos escrever p em função de θ , mas não do jeito que queriamos..ao invés do θ sozinho temos sin ⁡ 2 θ !

Mas calma, podemos dar um jeito nisso!

O que temos até agora é:

d p d θ = d 2 2 A c sin ⁡ 2 θ   d θ

Podemos jogar pra fora quem é constante e reescrever de uma maneira mais interessante:

d p d θ = 2 2 A c d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ

Passo 4

Opaa, e como a gente pode resolver essa derivada:

d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ

Vamos usar a regra da cadeia!!

Fazendo:

u = sin ⁡ 2 θ

Mas para acharmos d u / d θ temos que usar regra da cadeia de novo, tipo no fime A Origem mesmo ahaha

Nesse caso fazemos:

v = 2 θ

Então:

u = sin ⁡ v

Aplicando a regra da cadeia:

d u d θ = d u d v d v d θ = cos ⁡ v × 2

Substituindo:

d u d θ = 2 cos ⁡ 2 θ

Passo 5

Voltando para a regra da cadeia inicial:

u = sin ⁡ 2 θ

d u d θ = 2 cos ⁡ 2 θ → d u = 2

Aplicando a regra da cadeia:

d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = d u - 1 2 d u × d u d θ

Derivando e substituindo d u / d θ :

d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = - 1 2 u - 3 2 × ( 2 cos ⁡ 2 θ )

Substituindo u :

d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = - 1 2 sin ⁡ 2 θ - 3 2 × ( 2 cos ⁡ 2 θ )

Arrumando:

d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = - sin ⁡ 2 θ - 3 2 × cos ⁡ 2 θ

Passo 6

Agora que derivamos, podemos voltar para essa expressão aqui:

d p d θ = 2 2 A c d sin ⁡ 2 θ - 1 2 d θ

Substituindo a derivada:

d p d θ = - 2 2 A c × ( sin ⁡ 2 θ ) - 3 2 × cos ⁡ 2 θ

Queremos que essa derivada seja igual a zero, para isso precisamos de um θ que faça isso por a gente!

Sabendo que cos ⁡ 90 ° = 0 , então podemos fazer:

cos ⁡ ( 2 × 45 ° ) = 0

Opaaa, é isso mesmo?! Achamos nosso θ que vai fazer o escoamento ficar mais eficiente!!!

Uhuuul!!!

Resposta

θ = 45 °

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