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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 39

Considere um escoamento Couette completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas e infinitas separadas pela distância h , com a placa superior em movimento e a placa inferior fixa conforme está ilustrado na Figura P9-39. O escoamento é permanente, incompressível, e bidimensional no plano x y . O campo de velocidade é dado por V → = u , v = V ⋅ y / h ⋅ i → + 0 ⋅ j → . Encontre uma expressão para a função corrente ψ ao longo da reta vertical tracejada na Figura P9-39. Por conveniência, faça ψ = 0 ao longo da parede inferior do canal. Qual é o valor de ψ ao longo da parede superior?

Passo 1

O enunciado quer saber duas informações: uma expressão para a função corrente ψ de uma reta vertical (com coordenada y variável e x constante) e o valor de ψ do fluido em contato com a placa superior (onde y = h ). A figura abaixo mostra os dados que temos e as informações que buscamos.

onde y é a coordenada vertical dos pontos do escoamento medida da placa inferior. u é a componente da velocidade do eixo x e v é a componente da velocidade no eixo y . V é a componente horizontal da velocidade do fluido que está em contato com a placa superior y = h . ψ h é a função corrente do fluido em contato com a placa superior. ψ y é a função corrente para a reta vertical. ψ 0 é a função corrente do fluido em contato com a placa de baixo (onde y = 0 ).

Passo 2

Para descobrir as fórmulas das componentes da velocidade no eixo x u e no eixo y   v , derivamos parcialmente a função corrente ψ . E como fazemos o inverso? Ou seja, como descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ a partir das componentes da velocidade ( u e v )?

Para fazer esse caminho inverso, usamos o inverso da derivada: a integral! Em outras palavras, descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ , integrando as componentes da velocidade ( u e v ).

A primeira etapa para fazer isso é usar a fórmula de cálculo de u e v em função de ψ (equações 9-20 do livro) e substituir as equações de u e v dadas pelo enunciado.

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       V ⋅ y h = ∂ ψ ∂ y       ⟹       ∂ ψ ∂ y = V ⋅ y h

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       0 = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = 0

Passo 3

Agora vamos integrar a equação de u em relação a y e encontrar a função corrente ψ . Dizendo isso de outra forma, vamos pensar qual função que, ao ser derivada parcialmente em relação a y , seria igual a u   u = V ⋅ y h .

∂ ψ ∂ y = V ⋅ y h       ⟹       ∫ ∂ ψ ∂ y d y = ∫ V ⋅ y h d y       ⟹       ψ = V ⋅ y 2 2 h + g x

Depois da integração em y , encontramos que ψ é a soma entre um termo em função de y e uma função de x g ( x ) . Ou seja, a função, cuja derivada parcial em y vale V ⋅ y h é a soma entre um termo em função de y V ⋅ y 2 2 h e outro em função de x g x . Mas por que tem uma função de x nessa integração, se só houve integração em relação à variável y ?

Isso ocorre, porque quando derivamos parcialmente a função ψ em relação a y , os termos que são funções de x g x são considerados constantes! Ou seja, g x nada mais é do que a constante de integração da integral em y !

Para achar g x , temos que derivar parcialmente em x a função ψ que encontramos.

Passo 4

Derivando parcialmente ψ , achamos que:

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x V ⋅ y 2 2 h + g x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = g ' x

onde g ' x é a derivada de g x .

Substituindo a fórmula de ∂ ψ ∂ x nessa equação:

g ' x   = ∂ ψ ∂ x     ⟹       g ' x   = 0

Agora podemos integrar essa derivada em relação a x para achar g x .

g ' x   = 0       ⟹       ∫ g ' x d x = C       ⟹       g x = C

onde C é uma constante de integração.

Substituindo isso na fórmula de ψ , achamos:

ψ = V ⋅ y 2 2 h + g x       ⟹       ψ = V ⋅ y 2 2 h + C

Isso quer dizer que para encontrar ψ , só precisamos achar C .

Passo 5

Para achar o valor de C , temos que lembrar que a função ψ vale zero para y igual a 0 ψ 0 = 0 .

ψ = V ⋅ y 2 2 h + C       ⟹       ψ 0 = V ⋅ 0 2 2 h + C       ⟹       0 = C       ⟹       C = 0

Substituindo essa nova informação na equação de ψ , achamos:

ψ = V ⋅ y 2 2 h + C       ⟹       ψ = V ⋅ y 2 2 h + 0       ⟹       ψ = V ⋅ y 2 2 h

Como ψ é apenas uma função de y nesse caso, podemos dizer que ψ = ψ y .

ψ = V ⋅ y 2 2 h       ⟹       ψ y = V ⋅ y 2 2 h

ψ y é uma expressão para a função corrente ψ de uma reta vertical (com coordenada y variável e x constante), porque essa função só varia com y .

Passo 6

Por último, podemos descobrir quanto vale ψ para o fluido que está em contato com a placa de cima (onde y = h ).

ψ y = V ⋅ y 2 2 h       ⟹       ψ h = V ⋅ h 2 2 h       ⟹       ψ h = V ⋅ h 2

Resposta

ψ y = V ⋅ y 2 2 h

ψ h = V ⋅ h 2

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