Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 52
Considere o escoamento de Couette completamente desenvolvido — o escoamento entre duas placas paralelas infinitas separadas pela distância , com a placa superior se movendo e a
placa inferior fixa, como ilustra a Figura P7-52. O escoamento é em regime permanente incompressível e bidimensional no plano . Use o método das variáveis repetidas para gerar uma relação adimensional para a componente da velocidade do fluido como função da viscosidade do fluido , da velocidade da placa superior , da distância , da densidade do fluido e da distância . Mostre todo o seu trabalho.
Passo 1
Vamos lá! A gente vai usar análise dimensional para achar a relação entre a velocidade no eixo , com os parâmetros independentes que o enunciado deu pra a gente!
Como o enunciado já deu pra a gente todos os parâmetros relevantes, então não precisa se assustar caso você não saiba o que é um escoamento de Couette, o que a gente precisa fazer aqui é pegar os dados do enunciado e seguir o passo a passo do método das variáveis repetidas!
Então vamos começar com o primeiro passo que é listar os parâmetros relevantes!
Temos então parâmetros relevantes!!
Passo 2
Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!
; ; ;
;
Passo 3
Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões e , então podemos considerar:
Teorema de Pi de Buckingham:
O a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que !
Substituindo:
Nesse caso o número de grupos esperado é igual a 3. Então vamos atrás deles!!
Passo 4
Já que vamos considerar precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!
Relembrando nossos parâmetros:
De cara a gente já sabe que a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente!
e tem a mesma dimensão, só podemos escolher um deles, além disso a tem a mesma dimensão que , então se não escolhermos vamos ter dois números idênticos, sabendo disso vamos escolher :
é uma escolha possível, mas como os parâmetros que a gente escolheu tem menos dimensões básicas, eles são mais aconselháveis!
Passo 5
Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo !!
Começando com o que vai ser o dependente!!
Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo , e , temos:
Organizando:
Agora vamos achar , esse vai ser nosso independente combinando as nossas variáveis repetidas com :
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo temos:
Organizando:
Esse é o número de Reynolds!!!
E agora, o , dessa vez em usando :
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo temos:
Organizando:
Passo 6
Agora vamos finalmente escrever a relação entre os grupos :
Ou:
Aweeee!