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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 17

Considere o escoamento em espiral de linha em vórtices/sumidouros no plano x y ou r θ , conforme esboçado na Fig. P9–17. As componentes cilíndricas bidimensionais da velocidade ( u r ,   u θ ) para esse campo de escoamento são u r = C 2 π r e u θ = Ӷ 2 π r , onde C e Ӷ são constantes (m é negativo e Ӷ é positiva). Transforme esses componentes de velocidade cilíndrica bidimensional em componentes de velocidade cartesiana bidimensional ( u ,   v ) . Sua resposta final não deve conter r ou θ - apenas x e y. Como uma verificação de sua álgebra, calcule V 2 usando coordenadas cartesianas e compare com V 2 obtido a partir dos componentes de velocidade fornecidos em componentes cilíndricos.

Passo 1

Faaaaala galerinhaa!!

Animados para seguir?

Já estamos carecas de saber que:

u r = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ

u θ = - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

De maneira análoga nós podemos obter as componentes cartesianas, lembrando que aqui a componente da direção x será u r e na direção y será u θ :

u = u r . cos ⁡ θ - u θ sen ⁡ θ

v = u r . sen ⁡ θ + u θ . cos ⁡ θ

Já sabemos que:

u r = C 2 π r

u θ = Ӷ 2 π r

Substituindo:

u = C 2 π r . cos ⁡ θ - Ӷ 2 π r sen ⁡ θ

v = C 2 π r . sen ⁡ θ + Ӷ 2 π r . cos ⁡ θ

Aqui nós ainda temos o r e o θ , então devemos dar um jeito para transformá-los em x e y.

Para remover estas coordenadas teremos que relembrar de três equações dadas ao longo do capítulo:

r 2 = x 2 + y 2

x = r . cos ⁡ θ     →   cos ⁡ θ = x r  

y = r . sen ⁡ θ     →   sen ⁡ θ = y r

Colocando nas equações e seno e o cosseno:

u = C 2 π r x r - Ӷ 2 π r y r     →     u = C x 2 π r 2 - Ӷ y 2 π r 2

v = C y 2 π r 2 + Ӷ x 2 π r 2

E agora podemos substituir o r:

u = C x 2 π ( x 2 + y 2 ) - Ӷ y 2 π ( x 2 + y 2 ) = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y

v = C y 2 π ( x 2 + y 2 ) + Ӷ x 2 π ( x 2 + y 2 ) = 1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

Sendo assim:

u r ,   u θ = C 2 π r ,   Ӷ 2 π r

u ,   v = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y ,   1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

Passo 2

Precisamos achar a V 2 , certo?

Em termos cartesianos:

V 2 = u 2 + v 2

Substituindo:

V 2 = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y 2 + 1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C x - Ӷ y 2 + C y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C x 2 - 2 C x Ӷ y + Ӷ y 2 + 2 C x Ӷ y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C 2 x 2 + y 2 + Ӷ 2 x 2 + y 2

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 ( x 2 + y 2 )

Em coordenadas cilíndricas:

V 2 = u r 2 + u θ 2

Substituindo:

V 2 = C 2 π r 2 + Ӷ 2 π r 2

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 r 2

Sabemos que:

r 2 = x 2 + y 2

Então:

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 ( x 2 + y 2 )

Então tá tudo certinho, não é?

Bora continuar?

Resposta

u ,   v = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y ,   1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

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