Mostre que qualquer função diferenciável do número complexo conduz a um potencial válido (a parte real de ) e a uma função de corrente correspondente (a parte negativa imaginária de ) de um escoamento irrotacional e incompressível. Para fazer isso, prove, usando a regra da cadeia, que satisfaz automaticamente a equação de Laplace. Então, mostre que .

Da mesma forma que fizemos as considerações para a primeira derivada, isso também é verdade para a segunda, primeiro para a parte real:

Agora vamos fazer o mesmo, para a parte imaginária:

Vamos ver então, se fazendo isso teremos uma função que satisfaz a equação de Laplace:

Show! Agora precisamos mostrar que , vamos fazer isso no próximo passo!

Agora para a gente provar, só temos que lembrar da equação que escrevemos ali em cima:

E sendo uma função que envolve números complexos, temos que:

Da mesma forma:

Show! Mostramos que:

Arrasamos!!