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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 53

Considere o escoamento incompressível na entrada de um tubo, como mostrado a seguir. O escoamento na entrada é uniforme, u 1 = U 0 . O escoamento na seção 2 já está desenvolvido. Encontre a força de arrasto na parede, F, em função de ( p 1 , p 2 , ρ , U 0 , R ) , se o escoamento na seção 2 for:

  1. Laminar u 2 = u m á x 1 - r 2 R 2
  2. Turbulento u 2 = u m á x 1 - r R 1 7

Passo 1

Olá, meus abiguinss! Tudo bem? Vamos para mais um desafio de mecânica dos fluidos!!!

Primeiro de tudo vamos estabelecer um volume de controle dentro do nosso domínio, de estudo, beleza?

Considerando que nosso fluido está contido dentro de um tubo de diâmetro consideravelmente pequeno tal que a pressão em r= R e r=-R sejam iguais, temos que as forças de pressão também irão se cancelar nesse sentido. Porém para o eixo x, temos que:

∑ F x = F P 1 - F P 2 - F a r r a s t o + m ˙ e u e - m ˙ s u s = 0

∑ F x = p 1 A 1 - p 2 A 2 - F a r r a s t o + U 0 ρ π R 2 U 0 - ∫ 0 R ρ u 2 2 π r d r u 2 = 0

Note que não precisamos estabelecer a relação entre u m á x e U 0 pela integração, porque o resultado para os dois perfis já foi dado pelo livro durante o texto corrido.

Sabendo que as áreas que as forças de pressão são iguais, temos que:

p 1 - p 2 π R 2 - F a r r a s t o = ∫ 0 R ρ u 2 2 π r d r u 2 - U 0 ρ π R 2 U 0 = ρ π R 2 U 0 2 β 2 - 1

Passo 2

A gente aqui só acrescentou o fator de fluxo de momento de forma apropriada, que é o nosso fator β . Para o caso laminar, sabe-se que β = 4 3 e para o caso turbulento β pode ser aproximado ao valor de 1,020.

Passo 3

  1. Laminar: F a r r a s t o = p 1 - p 2 π R 2 - ρ π R 2 U 0 2 4 3 - 1 = p 1 - p 2 π R 2 - 1 3 ρ π R 2 U 0 2
  2. Turbulento: F a r r a s t o = p 1 - p 2 π R 2 - 0,02 ρ π R 2 U 0 2

Resposta

  1. p 1 - p 2 π R 2 - 1 3 ρ π R 2 U 0 2
  2. Turbulento: F a r r a s t o = p 1 - p 2 π R 2 - 0,02 ρ π R 2 U 0 2
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