Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 24
Um cotovelo redutor é usado para defletir o escoamento da água a uma taxa de em um tubo horizontal para cima de um ângulo da direção do escoamento enquanto a acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de na entrada e na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada é de . A massa do cotovelo e da água que há nele é de . Determine a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar. Tome o fator de correção do fluxo do momento como .
Passo 1
O exercício quer que a gente calcule a força necessária para manter o cotovelo parado. Essa força possui duas componentes: a componente horizontal do eixo e a componente vertical do eixo . A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.
é a área da seção transversal por onde a água entra no cotovelo e é a área da seção transversal por onde a água sai do cotovelo. é a pressão manométrica linha de corrente central da entrada do cotovelo e é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. vale zero, porque é igual à pressão atmosférica.
é a velocidade de entrada da água e é a velocidade de saída da água. é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. é a vazão de água através do cotovelo. é a soma da massa da água dentro do cotovelo com a massa do cotovelo. é a aceleração da gravidade.
Para encontrar , precisamos calcular primeiro. Para fazer isso de forma mais fácil, temos que entender uma informação que o enunciado esconde da gente. Além disso, temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.
Passo 2
Quando o enunciado diz que o cotovelo é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de , ele quer dizer que a vazão de entrada de água é igual à vazão de saída! Isso é uma forma do enunciado dizer que o escoamento de água está em regime permanente. Essa era a informação escondida do enunciado. Agora vamos ver as simplificações!
Além disso, para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações. Podemos considerar que a água é incompressível ( constante através do escoamento), sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento). Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular .
onde é a densidade da água.
Podemos calcular e através da fórmula de vazão.
Substituindo isso na fórmula e lembrando que é nulo, achamos:
Passo 3
Substituindo os dados na fórmula de , achamos o valor dessa pressão. No entanto, antes disso precisamos converter de centímetro para metro .
Também precisamos considerar que a densidade da água vale . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!
Por último precisamos converter as unidades de e de para .
Passo 4
Para calcular as forças e que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.
onde é o somatório das forças horizontais (no eixo ) sobre o volume de controle, é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem segundo o enunciado.
é a velocidade da água no eixo entrando no cotovelo. é a velocidade da água no eixo saindo do cotovelo. A velocidade tem duas componentes. Sua componente horizontal vale:
Além disso, a velocidade é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à .
Substituindo essas informações na fórmula de , encontramos:
Já as forças do eixo são apenas a força que a pressão exerce sobre a entrada do cotovelo e a força . Como as duas tem o mesmo sentido (da esqueda pra direita), a força resultante é igual à força da pressão mais . É importante lembrar que a força da pressão não está incluída, porque a pressão manométrica vale zero.
Substituindo isso na equação anterior de , encontramos:
Passo 5
Para encontrar temos que adaptar a equação de .
onde é o somatório das forças verticais (no eixo ) sobre o volume de controle.
é a velocidade da água no eixo entrando no cotovelo. é a velocidade da água no eixo saindo do cotovelo. A velocidade tem duas componentes. Sua componente horizontal vale:
Além disso, a velocidade é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero .
Já as forças do eixo são a força e a força peso que a água e o cotovelo sofrem pela atração da terra. é igual á massa do cotovelo e da água multiplicada pela aceleração da gravidade .
Como as duas são opostas ( pra cima e a força pra baixo), a força resultante é igual a menos a força .
Substituindo isso na equação anterior, encontramos:
Passo 6
Substituindo os dados nas fórmulas de e somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total .
Para calcular total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.