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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 22

Um cotovelo de 90 ° é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de 25   k g / s em um tubo horizontal para cima. O diâmetro de todo o cotovelo é de 10   c m . O cotovelo descarrega água na atmosfera e, portanto, a pressão na saída é a pressão atmosférica local. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada do cotovelo é de 35   c m . O peso do cotovelo e da água que há nele são desprezíveis. Determine (a) a pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo e (b) a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar. Tome o fator de correção do fluxo do momento como 1,03 .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule primeiro a pressão manométrica P 1 da linha de corrente central da entrada do cotovelo. A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.

D é o diâmetro da seção transversal do cotovelo. P 2 é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. Ela vale zero, porque é igual à pressão atmosférica. V 1 é a velocidade de entrada da água e V 2 é a velocidade de saída da água. z 2 - z 1 é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. m ˙ é a vazão de água através do cotovelo. F x é a componente horizontal e F y é a componente vertical da força F que faz o cotovelo ficar parado. g é a aceleração da gravidade.

Para encontrar P 1 de forma mais fácil temos que entender uma informação que o enunciado esconde da gente e temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.

Passo 2

Quando o enunciado diz que o cotovelo é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de 25   k g / s em um tubo horizontal para cima, ele quer dizer que a vazão de entrada de água é igual à vazão de saída! Isso é uma forma do enunciado dizer que o escoamento de água está em regime permanente.

Além disso, para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações. Podemos considerar que a água é incompressível ( ρ constante através do escoamento), sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento). Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular P 1 .

P 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

onde ρ é a densidade da água.

Podemos calcular V 1 e V 2 através da fórmula de vazão.

m ˙ = ρ ⋅ V 1 ⋅ A       ⟹       V 1 = m ˙ ρ ⋅ A       ⟹       V 1 = m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ A       ⟹       V 2 = m ˙ ρ ⋅ A       ⟹       V 2 = m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4

Pelas fórmulas de V 1 e V 2 , podemos notar que as duas velocidades são iguais. Substituindo isso na fórmula e lembrando que P 2 é nulo, achamos:

P 1 = ρ g ( z 2 - z 1 )

Passo 3

Substituindo os dados na fórmula de P 1 , achamos o valor dessa pressão. No entanto, antes disso precisamos converter z 2 - z 1 de centímetro c m para metro m .

z 2 - z 1 = 35   c m       ⟹       z 2 - z 1 = 0,35   m

Também precisamos considerar que a densidade da água ρ vale 1000   k g / m 3 . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!

P 1 = ρ g z 2 - z 1     ⟹       P 1 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,35       ⟹       P 1 = 3433,5   P a

Passo 4

Para calcular as forças F x e F y que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1,03 segundo o enunciado.

β 1 = β 2 = 1,03

V 1 , x é a velocidade da água no eixo x entrando no cotovelo. V 2 , x é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 é vertical. Logo, sua componente horizontal vale zero V 2 , x = 0 . Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V 1 V 1 , x = V 1 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x       ⟹       ∑ F x = - m ˙ ⋅ β 1 ⋅ V 1

∑ F x = - m ˙ ⋅ β 1 ⋅ m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       ∑ F x = - 4 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

Já as forças do eixo x são apenas a força que a pressão P 1 exerce sobre a entrada do cotovelo e a força F x . Como as duas são opostas ( F x pra esqueda e a força da pressão pra direita), a força resultante é igual à força da pressão P 1 menos F x .

∑ F x = P 1 ⋅ A - F x     ⟹       ∑ F x = P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 - F x

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F x = - 4 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2       ⟹       P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4 - F x = - 4 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

F x = 4 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2 + P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4

Passo 5

Para encontrar F y temos que adaptar a equação de ∑ F x .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

onde ∑ F y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle.

V 1 , y é a velocidade da água no eixo y entrando no cotovelo. V 2 , y é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 é vertical. Logo, sua componente vertical é igual à V 2 V 2 , y = V 2 . Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero V 1 , y = 0 .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y     ⟹       ∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ m ˙ ρ ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       ∑ F y = 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

Já as forças do eixo y são apenas a força que a pressão P 2 exerce sobre a saída do cotovelo e a força F y . Como as duas são opostas ( F y pra cima e a força da pressão pra baixo), a força resultante é igual a F y menos a força da pressão P 2 .

∑ F y = F y - P 2 ⋅ A     ⟹       ∑ F y = F y - P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F y = 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2       ⟹       F y - P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 = 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

F y = P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 + 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2

Passo 6

Substituindo os dados nas fórmulas de F x e F y somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total F . No entanto, antes disso precisamos converter D de centímetro c m para metro m .

D = 10   c m       ⟹       D = 0,10   m

F x = 4 ⋅ β 1 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2 + P 1 ⋅ π ⋅ D 2 4     ⟹     F x = 4 ⋅ 1,03 ⋅ 25 2 1000 ⋅ π ⋅ 0,10 2 + 3433,5 ⋅ π ⋅ 0,10 2 4

F x = 108,9   N

F y = P 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 + 4 ⋅ β 2 ⋅ m ˙ 2 ρ ⋅ π ⋅ D 2       ⟹       F y = 0 ⋅ π ⋅ 0,10 2 4 + 4 ⋅ 1,03 ⋅ 25 2 1000 ⋅ π ⋅ 0,10 2

F y = 82,0   N

Para calcular F total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.

F = F x 2 + F y 2       ⟹       F = 108,9 2 + 82,0 2       ⟹       F = 136,3   N

Resposta

a   P 1 = 3433,5   P a

b   F = 136,3   N

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