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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 63

Considere o escoamento laminar através de uma seção longa do tubo, como na Figura P7-62. Para escoamento laminar a rugosidade da parede não é um parâmetro relevante, a menos que ε seja muito grande. A vazão em volume V ˙ através do tubo é, na verdade, uma função do diâmetro do tubo D, da viscosidade do fluido μ e de um gradiente de pressão axial d P / d x . Se o diâmetro do tubo dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a vazão em volume aumentará? Use a análise dimensional.

Passo 1

Vamos começar o problema listando as hipóteses para o mesmo:

  1. O escoamento é permanente.
  2. O escoamento é completamente desenvolvido.

Podemos expressar a vazão em volume através do tubo como:

V ˙ = f D , μ , d P d x

E o número de parâmetros relevantes são n = 4

Vamos listar as dimensões primárias para os parâmetros listados:

V ˙ → L 3 t - 1

D → L 1

μ → m 1 L - 1 t - 1

d P / d x → m 1 L - 2 t - 2

Passo 2

O número de dimensões primárias é j = 3 , visto que escrevemos os parâmetros em termos de L , m , t . Logo, o número de grupos Π é:

k = n - j = 4 - 3 = 1

Vamos escolher três parâmetros que se repetem, pois j = 3 . Com isso, escolhemos um parâmetro geométrico, um cinemático e um dinâmico:

D ,   μ   e   d P / d x

Agora vamos gera o número adimensional Π :

Π 1 = V ˙ d P / d x a D b μ c = L 3 t - 1   m 1 L - 2 t - 2 a L 1 b m 1 L - 1 t - 1 c

Vamos obter os expoentes a, b e c comparando os expoentes de cada dimensão primária do lado esquerdo com o lado direito da relação do número Π

Massa:

m 0 = m a m c → 0 = a + c → c = - a

Tempo:

t 0 = t - 1 t - 2 a t - c → 0 = - 1 - 2 a - c → 0 = - 1 - 2 a - a → a = - 1

c = 1

Comprimento:

L 0 = L 3 L - 2 a L b L - c → 0 = 3 - 2 a + b - c → b =   - 3 + 2 ⋅ - 1 + 1

b = - 4

Passo 3

Substituindo os expoentes na relação para Π 1 temos:

Π 1 = V ˙ d P / d x - 1 D - 4 μ 1 →   Π 1 = V ˙ μ D 4 d P d x

Como temos um único número Π , podemos considera-lo como uma constante. Assim podemos escrever a vazão como:

V ˙ = C D 4 μ d P d x

Portanto, se o diâmetro do tubo é dobrado, mantendo todos os outros parâmetros fixos, a vazão irá aumentar em um fator de 2 4 = 16 .

Resposta

V ˙ = C D 4 μ d P d x

Se o diâmetro do tubo é dobrado, mantendo todos os outros parâmetros fixos, a vazão irá aumentar em um fator de 2 4 = 16 .

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