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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 22

Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d   =   10   m m . A placa superior se move para a direita com velocidade U 2   =   0,5   m / s ; a placa inferior se move para a esquerda com velocidade U 1   =   0,25   m / s . O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão volumétrica por unidade de largura (m³/s/m) que passa por uma dada seção transversal.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede uma expressão para a distribuição de velocidade na folga e a vazão volumétrica por unidade de largura. Primeiro, temos:

τ + ∂ ∂ y τ ∙ d y 2 - τ - ∂ ∂ y τ ∙ d y 2 b d x + p - ∂ ∂ x p ∙ d x 2 - p - ∂ ∂ x p ∙ d y 2 b   d y = 0

Simplificando esta equação, temos:

d τ d y = d p d x = 0 μ d 2 u d y 2 = 0

Integrando duas vezes:

u = c 1 + c 2

Para as condições de contorno, temos:

u 0 = - U 1 c 2 = - U 1 c 2 = - 0,5   m / s  

E também:

u y = d = U 2 c 1 = U 1 + U 2 d c 1 = 75   s - 1

Com isso, temos que a expressão para a velocidade vai ser dada por:

u y = U 1 + U 2 d y - U 1 u y = 75 y - 0,25

Passo 2

Agora, para calcularmos a razão volumétrica, temos:

Q = ∫ u   d A = b ∫ u   d y Q = b ∫ 0 d U 1 + U 2 d y - U 1   d x Q = b U 1 + U 2 d d 2 y   - U 1 d Q b = d U 2 - U 1 2 Q b = 1,25 × 10 - 3   m 2 / s

Resposta

u y = 75 y - 0,25

Q b = 1,25 × 10 - 3   m 2 / s

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