Considere o escoamento permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano em um escoamento anular redondo infinitamente longo com raio interno e raio externo . Ignore os efeitos da gravidade. É aplicado um gradiente constante negativo de pressão na direção , , onde e são duas localizações arbitrárias ao longo do eixo , e e são as pressões naquelas duas localizações. O gradiente de pressão pode ser causado por uma bomba e/ou gravidade. Note que aqui adotamos um sistema de coordenadas cilíndricas modificado com em lugar de para a componente axial, ou seja, e . Deduza uma expressão para o campo de velocidade no espaço anular do tubo.

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidades será aplicar a equação de Navier-Stokes. Como o escoamento ocorre apenas na direção , vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para esta componente:

Vamos começar analisando o lado esquerdo da equação.

Estamos em regime permanente e as componentes da velocidade e são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que . Então:

Assim, o lado esquerdo da equação é reduzido à:

Vamos agora olhar para os termos do lado direito.

Pelo enunciado, a ação da força gravitacional pode ser desprezada. Além disso, como acabamos de ver . Portanto:

Nossa equação fica:

Temos um gradiente de pressão constante, então:

Substituindo na equação de Navier-Stokes:

Para continuar a obtenção do perfil, vamos rearranjar a equação:

Integrando os dois lados em relação à :

Se fizermos uma nova integração com relação à ficamos com:

Vamos agora aplicar as condições de contorno ao perfil para obter as constantes e . Pelo princípio da aderência as condições de contorno são:

Já que os cilindros são fixos.

Aplicando estas duas condições:

Subtraindo a primeira equação da segunda:

Substituindo na primeira relação:

Aplicando as duas condições de contorno no perfil de velocidade ficamos com: