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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 87

Considere uma grande placa de aço inoxidável de 3 cm de espessura ( k = 15,1   W / m ⋅ K ) onde calor é gerado uniformemente a uma taxa de 5 ⋅ 10 5   W / m 3 . Ambos os lados da placa estão expostos ao ambiente a 30   ° C com coeficiente de transferência de calor de 60   W / m 3 ⋅ K . Explicite quais pontos da placa têm as temperaturas máxima e mínima e determine seus valores.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Estamos trabalhando um problema que envolve uma placa simétrica. A placa perde calor para ambas as extremidades sob a mesma taxa. Portanto, a temperatura máxima é no centro e a mínima é nas superfícies externas.

Agora, precisamos determinar quais são essas temperaturas!

Passo 2

Para descobrir quais são os valores delas, precisamos resolver a EDO associada. Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Portanto:

d 2 T d x 2 + e ˙ g e r k = 0

Em relação as condições de contorno, devido a simetria do problema, temos um fluxo nulo no meio da placa. Portanto,

- k d T d x x = 0 = 0

Já a outra é condução de calor na superfície é igual a convecção do fluido. Vamos assumir aqui que a placa tem comprimento igual a 2 L = 0,03   m . Portanto:

- k d T d r x = L = h T s - T ∞

Agora, vamos resolver a EDO! Com isto, temos:

d T d x = - e ˙ g e r k x + C 1

T x = - e ˙ g e r 2 k x 2 + C 1 x + C 2

Substituindo a primeira condição de contorno, temos:

- k d T d x x = 0 = - k - e ˙ g e r k ⋅ 0 + C 1 = C 1 = 0

Já para a segunda condição, temos:

- k d T d x x = L = - k - e ˙ g e r k ⋅ L = h T s - T ∞

- k - e ˙ g e r k ⋅ L = h T s - T ∞

T s = T ∞ + e ˙ g e r h L

Lembrando que T s = T L , descobrimos que:

T L = - e ˙ g e r 2 k L 2 + C 2 = T ∞ + e ˙ g e r h L

C 2 = e ˙ g e r 2 k L 2 + T ∞ + e ˙ g e r h L

Portanto, a distribuição de temperatura na placa é:

T x = - e ˙ g e r 2 k x 2 + e ˙ g e r 2 k L 2 + T ∞ + e ˙ g e r h L

Vamos agora substituir os valores das constantes. Com isto, temos:

T x = - 5 ⋅ 10 5 2 ⋅ 15,1 x 2 + 5 ⋅ 10 5 2 ⋅ 15,1 0,015 2 + 30 + 5 ⋅ 10 5 60 0,015

T x = - 16556,29 ⋅ x 2 + 158,7

Muito cuidado na hora de substituírem os valores por causa das unidades!

Passo 3

Estamos quase lá! Vamos calcular agora a temperatura máxima e a mínima. A temperatura máxima ocorre no meio da placa, isto é, em x = 0 . Portanto,

T 0 = T m á x = 158,7   ° C

Já o valor mínimo ocorre em x = 0,015   m . Portanto,

T 0,015 = T m í n = - 16556,29 ⋅ 0,015 2 + 158,7

T 0,015 = T m í n = 15 5   ° C

Resposta

A temperatura máxima ocorre no meio da placa e a mínima na sua superfície. Os valores são:

T 0 = T m á x = 158,7   ° C

T 0,015 = T m í n = 155   ° C

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