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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 139

Considere uma tubulação de água de comprimento L = 17   m , raio intenro r 1 = 15   c m , raio externo r 2 = 20   c m e condutividade térmica k = 15   W / m ⋅ K . Gera-se calor uniformemente no tubo por meio de um aquecedor elétrico de 25 kW. As superfícies interna e externa da tubulação estão em T 1 = 60   ° C e T 2 = 80   ° C , respectivamente. Obtenha a relação geral para distribuição de temperatura no interno do tubo sob condições permanentes e determine a temperatura no seu plano central.

Passo 1

Vamos lá! Para podermos obter a distribuição de temperatura no tubo, e posteriormente a temperatura no plano central (é a mesma coisa que o ponto médio entre ambas as superfícies), precisamos desenvolver a equação diferencial para este problema.

Para podermos desenvolvê-la, será necessário um ponto de partida. Este ponto é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!

Temos um problema que envolve condução de calor em um tubo de formato cilíndrico. Portanto, iremos utilizar o sistema de coordenadas cilíndrico.

Agora, vamos entender as condições que o nosso tubo está sujeito. Ele está sujeito a condução unidimensional em regime permanente, com geração de calor e com condutividade térmica constante. Portanto, temos a seguinte equação diferencial que rege a condução de calor para o nosso problema:

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

Além disto, é necessário descrevermos as condições de contorno. Em ambas as superfícies temos temperatura constante. Portanto, as condições de contorno são:

T r 1 = 60   ° C

T r 2 = 80   ° C

Passo 2

Agora, precisamos resolver a EDO com as condições discutidas no passo anterior. Integrando a nossa EDO, temos:

1 r d d r r d T d r = - e ˙ g e r k

r d T d r = - e ˙ g e r 2 ⋅ k r 2 + C 1

d T d r = - e ˙ g e r 2 ⋅ k r + C 1 r

T r = - e ˙ g e r 4 ⋅ k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora, precisamos substituir ambas as condições de contorno para descobrir quem são as constantes C 1 e C 2 . Substituindo ambas as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

- e ˙ g e r 4 ⋅ k r 1 2 + C 1 ln ⁡ r 1 + C 2 = 60 - e ˙ g e r 4 ⋅ k r 2 2 + C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 = 80

Resolvendo este sistema, obtemos que:

C 2 = 60 + e ˙ g e r 4 ⋅ k r 1 2 - C 1 ln ⁡ r 1

C 1 = 20 + e ˙ g e r 4 ⋅ k ⋅ r 2 2 - r 1 2 ln ⁡ r 2 r 1

Agora é só substituirmos os valores das constantes! Mas espera. Só isso? Vamos revisar os valores deles. Temos: r 1 = 0,15   m , r 2 = 0,20   m e k = 15   W / m ⋅ K . Mas e o termo de geração e ˙ g e r ? Aaah! Falta calcularmos ele! E parar o valor de 25 kW fornecido na questão! Portanto,

e ˙ g e r = E ˙ g e r V = E ˙ g e r π r 2 2 - r 1 2 L = 25 ⋅ 10 3 π 0,2 2 - 0,15 2 ⋅ 17 = 26,75   k W / m 3

Agora sim, com isto, obtemos:

C 1 = 96,64

C 2 = 253,4

T r = - 0,446 ⋅ 10 3 ⋅ r 2 + 96,64 ln ⁡ r + 253 , 4

E esta é a distribuição de temperatura na nossa tubulação!

Passo 3

Agora precisamos determinar a temperatura no plano central. Este plano central nada mais é que o ponto médio entre ambas as superfícies. Portanto,

r m é d = r 1 + r 2 2 = 0,175   m

Agora, é só substituirmos este valor na fórmula que obtivemos. Desta forma, obtemos:

T 0,175 = 71,3   ° C

E esta á a nossa resposta.

Resposta

A distribuição de temperatura é:

T r = - 0,446 ⋅ 10 3 ⋅ r 2 + 96,64 ln ⁡ r + 253,4

A temperatura no plano central é:

T 0,175 = 71,3   ° C

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