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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 4

Considere um metal líquido ( P r ≪ 1 ) , com condições na corrente livre μ ∞ e T ∞ , escoando paralelamente sobre uma placa plana isotérmica a T s . Admitindo u = u ∞ ao longo de toda a camada-limite térmica, escreva a forma correspondente da equação da energia na camada-limite. Aplicando condições inicial ( x = 0 ) e de contorno apropriadas, resolva essa equação para determinar o campo de temperaturas na camada-limite, T ( x , y ) . Use o resultado para obter uma expressão para o número de Nusselt local N u x .

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar uma expressão de campo de temperaturas para a condição dada.

Vamos começar aplicando a equação da energia para este problema. Ela é dada por:

u d T d x + v d T d y = α d 2 T d y 2

Aplicando a aproximação da camada limite u ≫ v e v ≅ 0 , além do que foi proposto pelo enunciado u = u ∞ , ficamos com:

u ∞ d T d x = α d 2 T d y 2

Podemos ver que a equação depende de três variáveis ( T , x , y ). Então, para resolver essa equação diferencial iremos aplicar o método das variáveis independentes. Então, chamando

θ = T - T s T ∞ - T s

E

ξ = y 4 α x u ∞

Passo 2

Diferenciando estas novas variáveis ficamos com:

d θ d T = d d T T - T s T ∞ - T s

d θ d T = 1 T ∞ - T s

T ∞ - T s d θ = d T

T ∞ - T s d 2 θ = d 2 T

d ξ d x = d d x y 4 α x u ∞

d ξ d x = - 1 2 y 4 α u ∞ x - 3 2

d ξ d x = - 1 2 x y 4 α x u ∞

d ξ d x = - 1 2 x ξ

- 2 x ξ d ξ = d x

E

ξ 2 = y 2 4 α x u ∞

d ξ 2 d y 2 = d d y 2 y 2 4 α x u ∞

d ξ 2 d y 2 = 1 4 α x u ∞

4 α x u ∞ d ξ 2 = d y 2

Substituindo na equação diferencial:

u ∞ d T d x = α d 2 T d y 2

u ∞ T ∞ - T s d θ - 2 x ξ d ξ = α T ∞ - T s d 2 θ 4 α x u ∞ d ξ 2

4 d θ d ξ = - 2 ξ d 2 θ d ξ 2

- 2 ξ d θ d ξ = d 2 θ d ξ 2

d 2 θ d ξ 2 + 2 ξ d θ d ξ = 0

Passo 3

Se considerarmos que d θ d ξ é uma constante arbitrária:

d θ d ξ = ψ

Ficaremos com:

d ψ d ξ + 2 ξ ψ = 0

d ψ d ξ = - 2 ξ ψ

d ψ ψ = - 2 ξ d ξ

Integrando:

∫ d ψ ψ = ∫ - 2 ξ d ξ

ln ⁡ ψ = - ξ 2 + C 1

ψ = exp ⁡ - ξ 2 + C 1

Substituindo d θ d ξ = ψ :

d θ d ξ = exp ⁡ - ξ 2 + C 1

d θ = exp ⁡ - ξ 2 + C 1 d ξ

Integrando:

∫ d θ = ∫ exp ⁡ - ξ 2 + C 1 d ξ

θ = ∫ exp ⁡ C 1 exp ⁡ - ξ 2 d ξ + C 2

Chamando exp ⁡ C 1 = C 3 :

θ = C 3 ∫ exp ⁡ - ξ 2 d ξ + C 2

A função erro é definida como:

erf ⁡ ξ = 2 π ∫ 0 ξ exp ⁡ - ξ 2 d ξ

∫ 0 ξ exp ⁡ - ξ 2 d ξ = π 2 erf ⁡ ξ

Ficamos então com:

θ = C 3 π 2 erf ⁡ ξ + C 2

Passo 4

Vamos agora aplicar as condições de contorno para obter as constantes C 2 e C 3 . As condições são:

T x , 0 = T s

T x , ∞ = T ∞

T 0 , y = T ∞

Escrevendo em termos de θ e ξ :

y = 0 → ξ = 0 → T = T s → θ = 0

y = ∞ → ξ = 1 → T = T ∞ → θ = 1

Então:

θ 0 = 0 = C 3 π 2 erf ⁡ 0 + C 2

C 2 = 0

θ ∞ = 1 = C 3 π 2 erf ⁡ ∞

1 = C 3 π 2

C 3 = 2 π

Substituindo no perfil:

θ = 2 π π 2 erf ⁡ ξ + 0

θ = erf ⁡ ξ

T - T s T ∞ - T s = erf ⁡ y 4 α x u ∞

T - T s = ( T ∞ - T s ) erf ⁡ y 4 α x u ∞

T = T s + ( T ∞ - T s ) erf ⁡ y 4 α x u ∞

Passo 5

Precisamos agora usar o perfil de temperaturas para obter uma relação para o número de Nusselt local.

Pela definição sabemos que

N u x = h x k

Na interface:

q c o n d ' ' = q c o n v ' '

- k d T d y y = 0 = h ( T s - T ∞ )

- k d T d θ d θ d ξ d ξ d y = h ( T s - T ∞ )

Já calculamos anteriormente que:

d θ d T = 1 T ∞ - T s

d T d θ = T ∞ - T s

d θ d ξ = 2 π exp ⁡ - ξ 2

d ξ d y = d d y y 4 α x u ∞

d ξ d y = 1 4 α x u ∞

Substituindo:

- k T ∞ - T s 2 π exp ⁡ - ξ 2 1 4 α x u ∞ y = 0 = h ( T s - T ∞ )

k ( T s - T ∞ ) 2 π exp ⁡ 0 1 4 α x u ∞ = h ( T s - T ∞ )

k 2 π 1 4 α x u ∞ = h

h k = u ∞ π α x

Aplicando este resultado na equação de Nusselt:

N u x = u ∞ π α x x

N u x = u ∞ x π α

Como α = k / ρ c p

N u x = u ∞ x ρ c p π k

N u x = ρ u ∞ x c p μ π k μ

N u x = 1 π ρ u ∞ x μ μ c p k

Escrevendo

R e x = ρ u ∞ x μ

P r = μ c p k

Nossa relação para o número de Nusselt é:

N u x = 1 π R e x 1 / 2 P r 1 / 2

Resposta

O perfil de temperaturas é:

T = T s + ( T ∞ - T s ) erf ⁡ y 4 α x u ∞

E a correlação para o número de Nusselt local:

N u x = 1 π R e x 1 / 2 P r 1 / 2

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