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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 91

Considere novamente o Problema 7.51. A experiência mostra que, para hélices de navios, os efeitos viscosos são pequenos sobre as transposições por escala. Também, quando a cavitação não está presente, o parâmetro adimensional contendo a pressão pode serignorado. Considere que o torque, T , e a potência,   P , dependam dos mesmos parâmetros que o empuxo. Para condições em que os efeitos de μ e p podem ser desprezados, deduza “leis” de escala para hélices, similares às “leis” das bombas da Seção 7.6, que relacionem empuxo, torque e potência com a velocidade angular e o diâmetro da hélice.

Passo 1

Neste problema será necessário obter os parâmetros adimensionais característicos do problema e deduzir leis que relacionem empuxo, torque e potência com a velocidade angular e o diâmetro da hélice.

Para resolver o problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Nota: os efeitos de μ e p podem ser desprezados, mas o campo gravitacional deve ser considerado.

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: potência ( P ), empuxo ( F ), rotação ( ω ), velocidade do ar ( V ), diâmetro da hélice ( D ), torque ( T ), massa específica ( ρ ) e aceleração da gravidade ( g ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 8

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- P = M ∙ L 2 t 3

- F = M ∙ L t 2

- ω = 1 t

- V = L t

- D = L

- T = M ∙ L 2 t 2

- ρ = M L 3

- g = L t 2

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste problema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , ω e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 8 - 3 = 5   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = P ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L 2 t 3 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 3 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 3

c = - 5

Logo:

π 1 = P ∙ ρ - 1 ∙ ω - 3 ∙ D - 5

De forma que π 1 vale:

π 1 = P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5

- π 2

π 2 = F ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     1 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 4

Logo:

π 2 = F ∙ ρ - 1 ∙ ω - 2 ∙ D - 4

De forma que π 2 vale:

π 2 = F ρ ∙ ω 2 ∙ D 4

- π 3

π 2 = V ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     1 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1

c = - 1

Logo:

π 3 = V ∙ ρ 0 ∙ ω - 1 ∙ D - 1

De forma que π 3 vale:

π 3 = V ω ∙ D

- π 4

π 4 = T ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L 2 t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 5

Logo:

π 4 = T ∙ ρ - 1 ∙ ω - 2 ∙ D - 5

De forma que π 4 vale:

π 4 = T ρ ∙ ω 2 ∙ D 5

- π 5

π 5 = g ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     1 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 2

c = - 1

Logo:

π 5 = g ∙ ρ 0 ∙ ω - 2 ∙ D - 1

De forma que π 5 vale:

π 5 = g ω 2 ∙ D

Passo 7

Obtidos 5 adimensionais pode-se definir leis de escala para hélices segundo o pedido no enunciado.

- Lei que relaciona torque com velocidade angular e diâmetro da hélice

Os parâmetros solicitados são representados pelos adimensionais:

π 4 = T ρ ∙ ω 2 ∙ D 5

π 3 = V ω ∙ D

π 5 = g ω 2 ∙ D

Logo, pode-se escrever o seguinte funcional do torque:

T ρ ∙ ω 2 ∙ D 5 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

- Lei que relaciona empuxo com velocidade angular e diâmetro da hélice

Os parâmetros solicitados são representados pelos adimensionais:

π 2 = F ρ ∙ ω 2 ∙ D 4

π 3 = V ω ∙ D

π 5 = g ω 2 ∙ D

Logo, pode-se escrever o seguinte funcional do empuxo:

F ρ ∙ ω 2 ∙ D 4 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

- Lei que relaciona potência com velocidade angular e diâmetro da hélice

Os parâmetros solicitados são representados pelos adimensionais:

π 1 = P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5

π 3 = V ω ∙ D

π 5 = g ω 2 ∙ D

Logo, pode-se escrever o seguinte funcional da potência:

P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

Resposta

F ρ ∙ ω 2 ∙ D 4 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

T ρ ∙ ω 2 ∙ D 5 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5 = f V ω ∙ D ,   g ω 2 ∙ D  

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