Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 137

Considere novamente o sistema móvel de pás múltiplas do Problema 4.136. Considerando que pode ser encontrada uma maneira de tomar o ângulo α aproximadamente zero (portanto, θ 1 , aproximadamente 90°), avalie a velocidade das pás, U , que resultaria na máxima potência gerada pelo sistema.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento Uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = R x

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

Desse modo, a força resultante se dá:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R x = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( V - U ) ;

u 2 = - ( V - U ) ⋅ s e n   θ 2 .

Então:

R x = V - U ⋅ - ρ V A + - V - U ⋅ s e n   θ 2 ⋅ ρ V A

R x = V - U ⋅ ρ V A ⋅ ( 1 + s e n   θ 2 )

Passo 4

A fórmula de potência se dá:

W = F x ⋅ u

Substituindo:

F x = R x = V - U ⋅ ρ V A ⋅ ( 1 + s e n   θ 2 )

Temos a potência da pá:

W = U V - U ⋅ ρ V A ⋅ ( 1 + s e n   θ 2 )

Passo 5

Para obtermos a potência máxima, devemos igualar a derivada da potência em relação a velocidade u à zero.

d W d U = 0

Assim:

d d U U V - U ⋅ ρ V A ⋅ 1 + s e n   θ 2 = 0

Derivando a expressão acima, obtemos:

V ⋅ ρ V A ⋅ 1 + s e n   θ 2 - 2 U ⋅ ρ V A ⋅ 1 + s e n   θ 2 = 0

V - 2 U ⋅ ρ V A ⋅ 1 + s e n   θ 2 = 0

Ajeitando a equação, obtemos a velocidade u para maximizar a potência:

V - 2 U = 0

U = V 2

Resposta

U = V 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Água a 20°C escoa a 114 L/min através do tubo de 19 mm de diâmetro com duas curvas, como na Figura P3.115. As pressões são p 1 = 206,84k P aep 2 = 165,47k P a . Calcule o torque T no ponto B necessári
Como se pode observar frequentemente em uma pia de cozinha quando a torneira está aberta, um escoamento com alta velocidade em um canal ( V 1 , h 1 ) pode “saltar” para uma condição de baixa velocidad
A bomba centrífuga da Figura P3.116 tem um escoamento com vazão Q, saindo do rotor com um ângulo θ 2 , relativo às pás, como mostra a figura. O fluido entra axialmente na seção 1. Considerando escoame
Um trenó de Massa M, movido a foguete, Figura P3.108, deve ser desacelerado por uma concha de largura b normal ao papel e imersa na água à profundidade h, criando um jato de 60° para cima. O empuxo do
Admita que o foguete da Figura E3.12 inicie o movimento em z = 0 , com velocidade de saída e vazão em massa de saída constantes, e suba verticalmente com força de arrasto zero. (a) Mostre que, enquant