47 – Considere a parede leste de uma casa com espessura L . A superfície externa da parede troca calor por convecção e por radiação. O interior da casa é mantido a uma temperatura T ∞ 1 , enquanto o meio externo permanece a uma temperatura T ∞ 2 . O céu, o solo e as superfícies das estruturas ao redor do local podem ser modelados como superfícies a uma temperatura efetiva T c é u para troca por radiação com a superfície externa. A radiação trocada entre a superfície interna da parede e as superfícies de outras paredes, piso e teto é desprezível. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa da parede são h 1 e h 2 , respectivamente. A condutividade térmica do material que constitui a parede é k , e a emissividade superfície externa é ε 2 . Considerando que a transferência de calor através da parede como unidimensional e permanente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Passo 1

Dados fornecidos:

A espessura da parede é  L

A superfície interior da parede é mantida à temperatura  T ∞ 1

A superfície externa da parede é mantida à temperatura  T ∞ 2

A temperatura do céu é  T c é u

O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície interna da parede é  h 1

O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa da parede é  h 2

A condutividade térmica do material é  k

A emissividade da superfície externa é  ε 2

Passo 2

Assumindo condutividade térmica constante e transferência de calor unidimensional, a formulação matemática desse problema de condução de calor se torna

d 2 T d x 2 = 0

A primeira condição de contorno na superfície interna da parede é a condução de calor na direção selecionada que é igual ao calor por convecção na mesma direção (uma vez que a troca por radiação na superfície interna da parede é insignificante)

- k d T 0 d x = h 1 T ∞ 1 - T 0

A segunda condição de contorno é referente a superfície externa da parede que tem a condução de calor igual a soma da convecção e radiação (uma vez que a troca de calor por radiação na superfície externa não é significante)

- k d T L d x = h 2 T L - T ∞ 2 + ε 2 σ T L 4 - T c é u 4

Onde σ é a constante Stefan-Boltzmann

Portanto, a formulação matemática do problema de condução de calor é

d 2 T d x 2 = 0

E as duas condições de contorno são

- k d T 0 d x = h 1 T ∞ 1 - T 0

- k d T L d x = h 2 T L - T ∞ 2 + ε 2 σ T L 4 - T c é u 4

Resposta

Portanto, a formulação matemática do problema de condução de calor é

d 2 T d x 2 = 0

E as duas condições de contorno são

- k d T 0 d x = h 1 T ∞ 1 - T 0

- k d T L d x = h 2 T L - T ∞ 2 + ε 2 σ T L 4 - T c é u 4

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