Considere uma parede plana unidimensional com espessura . A superfície em é submetida a condições de convecção caracterizadas por , enquanto a superfície em é submetida a condições de convecção caracterizadas por e . A temperatura inicial na parede é .

(a) Escreva a equação diferencial e identifique as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a distribuição de temperaturas em função da posição e do tempo.

(b) Em coordenadas, esboce as distribuições de temperaturas para a condição inicial, para o regime estacionário e para dois outros instantes de tempo intermediários, para o caso no qual .

(c) Em coordenadas , esboce o fluxo térmico nos planos .

(d) O valor de é agora dobrado, com todas as outras condições sendo idênticas as das partes (a) até (c). Em coordenadas e na mesma escala usada na parte (b), esboce as distribuições de temperaturas para a condição inicial, para o regime estacionário e para dois outros instantes de tempo intermediários. Compare estes esboços com os da parte (b).

(e) Usando o valor dobrado de , esboce o fluxo térmico nos planos e , no mesmo gráfico que você preparou para a parte (c). Compare as duas respostas.

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), que nos pede as condições de contorno e a nossa equação diferencial. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

Como quanto nossa temperatura é , em cada superfície será equivalente a temperatura ambiente de cada superfície, ou seja:

Agora pra nossas condições de contorno, nas superfícies o fluxo de calor por condução é igual o fluxo de calor por convecção:

(b) Bem nosso problema nos pede uma representação gráfica da distribuição de temperatura ao longo da superfície, vamos calcular nossa

Integrando duas vezes em função de e temos:

Usando nossas condições de contorno encontramos nosso gráfico que fica assim:

Como não existe geração de calor e , eventualmente nosso gradiente de temperatura vai se tornar constante, e como a temperatura vai decair ao longo do eixo .

No regime permanente nosso fluxo vai ser dado por:

(c) Vamos lá seguindo a lógica do nosso gráfico passado, temos:

Para o instante os nossos fluxos serão idênticos.

Após o passar do tempo os nossos efeitos térmicos chegarão até o centro da parede então o fluxo será constante.

Assim vamos traçar a curva pro centro da parede e pra ambas as superfícies

(d) Se dobrarmos nosso coeficiente de convecção a única diferença será pra na superfície pois o fluxo dobra pois.

Daí nossos gráficos ficam:

(e) Se dobrarmos nosso coeficiente de convecção a nossas equações de fluxo vão divergir assim temos:

Para o fluxo na superfície será o dobro do valor da superfície .

Depois de um certo tempo os efeitos térmicos vão chegar ao centro da parede e os nossos fluxos serão iguais.

Assim nosso gráfico fica.

Isso é tudo pessoal! \o/