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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 126

Considere uma placa de espessura de 2,5 cm, um cilindro longo de diâmetro 2,5 cm e uma esfera de diâmetro 2,5 cm, todos inicialmente a 200 °C e todos feitos de bronze ( k   =   26   W / m . ° C   e   α   =   8,6 x 10 - 6 m ² / s ). Agora, todas as três geometrias são expostas ao ar frio a 25 °C em todas as superfícies, com coeficiente de transferência de calor de 40 W/m².°C. Determine a temperatura no centro de cada geometria após 10 e 20 min. Explique porque a temperatura no centro da esfera é sempre menor.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos três sólidos de geometrias diferentes submetidos às mesmas condições e queremos comparar as temperaturas do centro nas três geometrias em 10 e 20 m i n .

As três geometrias têm o mesmo comprimento característico L c = 0,0125   m ., que utilizaremos barra calcular os números de Biot e Fourier nos próximos passos.

Devemos utilizar as seguintes equações para calcular a temperatura no centro das geometrias:

ϴ p a r e d e p l a n a ( 0 ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ

ϴ c i l i n d r o ( 0 , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡

ϴ e s f e r a ( 0 ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 20 0   ° C     T ∞ = 25   ° C   k   =   26   W / m . ° C α   =   8,6 x 10 - 6 m ² / s

Passo 2

Primeiro, devemos calcular o número de Biot para as três geometrias:

B i p a r e d e p l a n a = B i c i l i n d r o = B i e s f e r a =   h L c k =   ( 40   W / m ² . ° C ) ( 0,0125   m ) 26   W / m . ° C =   0,02  

Vamos agora na Tabela 4-2 (página 239) para calcular os valores de A 1 e λ 1 para as três geometrias.

B i p a r e d e p l a n a =   0,02 →   λ 1 = 0,1410   A 1 = 1,0033

B i c i l i n d r o =   0,02   →   λ 1 = 0,1995     A 1 = 1,00 5 0

B i e s f e r a =   0,02   →   λ 1 = 0,244 5     A 1 = 1,00 6 0

Passo 3

Vamos resolver para t = 10 min ⁡ = 600   s . Calculando o número de Fourier:

τ p a r e d e p l a n a =   τ c i l i n d r o = τ e s f e r a = α t L c ² =   ( 8,6 x 10 - 6 m ² / s ) ( 600   s ) ( 0,0125   m ) ² = 3 3 , 0 2

Substituindo nas equações que eu te mostrei no passo anterior:

ϴ p a r e d e p l a n a 0 ,   10   m i n = 1,0033 e - 0,1410 2 33,02 = 0,5204

ϴ c i l i n d r o 0 , 10   m i n = 1,0050 e - 0,1995 2 33,02 = 0,2700 ⁡

ϴ e s f e r a 0 ,   10   m i n = 1,0060 e - 0,2445 2 33,02 =   0,1397

Calculando as temperaturas:

T 0,10   m i n - 25   ° C 20 0   ° C - 25   ° C p a r e d e p l a n a =   0,5204 →     T 0,10   m i n = 116,07   ° C

T 0,10   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C c i l i n d r o =   0,2700 ⁡ →     T 0,10   m i n = 72,25   ° C

T 0,10   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C e s f e r a =   0,1397 ⁡ →     T 0,10   m i n = 49 , 4 5   ° C

Passo 4

Vamos resolver para t = 2 0 min ⁡ = 12 00   s . Calculando o número de Fourier:

τ p a r e d e p l a n a =   τ c i l i n d r o = τ e s f e r a = α t L c ² =   ( 8,6 x 10 - 6 m ² / s ) ( 12 00   s ) ( 0,0125   m ) ² = 66 , 0 4

Substituindo nas equações que eu te mostrei no passo anterior:

ϴ p a r e d e p l a n a 0 ,   2 0   m i n = 1,0033 e - 0,1410 2 66,04 = 0,2700

ϴ c i l i n d r o 0 , 2 0   m i n = 1,0050 e - 0,1995 2 66,04 = 0,0726 ⁡

ϴ e s f e r a 0 ,   2 0   m i n = 1,0060 e - 0,2445 2 66,04 =   0,0194

Calculando as temperaturas:

T 0,2 0   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C p a r e d e p l a n a =   0,2700 →     T 0,10   m i n = 72,25   ° C

T 0,2 0   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C c i l i n d r o =   0,0726 ⁡ →     T 0,10   m i n = 37 , 71   ° C

T 0,2 0   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C e s f e r a =   0,0194 ⁡ →     T 0,10   m i n = 28,40   ° C

Resposta

As temperaturas no centro para cada geometria encontram-se calculadas nos passos anteriores.

Além disso, a explicação para a temperatura no centro da esfera ser sempre menor é que sua área específica (área superficial por volume) é maior para a esfera, e sua transferência de calor é maior.

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