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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 74

Considere o potencial de velocidade bidimensional incompressível em coordenadas polares

ϕ =     B r   c o s θ +   B L θ  

em que B é uma constante e L é uma escala de comprimento constante. (a) Quais são as dimensões de B? (b) Localize o único ponto de estagnação nesse campo de escoamento. (c) Prove que existe uma função corrente e, então, encontre a função ψ ( r , θ ) .

Passo 1

Bora pra mais uma!

  1. Para ϕ ter as dimensões corretas (L²/T), a constante B deve ter dimensões iguais às de velocidade (L/T). Visto que:

    2. B * r * c o s θ = L 2 T ; r = L ; θ = a d m e n s i o n a l → B * L = L 2 T → B = L T .

  2. Vamos calcular as velocidades em coordenadas polares:

    3. v r = ∂ ϕ ∂ r = B c o s θ ; v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ   = 1 r * ( - B r s e n θ - B L )

    Agora, vamos encontrar o ponto de estagnação:

    v r = 0 ↔ t h e t a = π 2 + k π ,   k ∈ R

    v θ = 0 ↔   - s e n θ - L r = 0 ↔ r = ± L  

    Como L>0, temos que o único ponto de estagnação é: (L, 3 π 2 )

    Passo 2

  3. Da continuidade, para que haja uma função corrente:

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0

1 r * B c o s θ + 1 r * - B c o s θ = 0

Como é satisfeita, logo há uma função corrente. Vamos calcula-la:

v r = 1 r ∂ ψ     ∂ θ = B c o s θ ; v θ = - ∂ ψ     ∂ r = 1 r * ( - B r s e n θ - B L )

Integrando:

ψ θ = B r s e n θ + c r ; ψ r = B r s e n θ + B L l n r + c θ

ψ = B r s e n θ + B L l n r + c o n s t

Resposta

  1. B deve ter dimensões iguais às de velocidade (L/T).
  2. (L, 3 π 2 )
  3. ψ = B r s e n θ + B L l n r + c o n s t
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