Um escoamento incompressível em coordenadas polares é dado por

v r = K cos ⁡ θ 1 - b r 2

v θ = - K sen ⁡ θ 1 + b r 2

Esse campo satisfaz a continuidade? Para a consistência, quais devem ser as dimensões das constantes K e b? Faça um esboço da superfície em que v r = 0 e interprete.

Passo 1

Simbora lá fazer essa ai!

Substituindo as coordenadas polares na equação da continuidade, teremos que:

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0

1 r ∂ ∂ r K cos ⁡ θ 1 - b r 2 + 1 r ∂ ∂ θ - K sen ⁡ θ 1 + b r 2 = 0  

Vamos fazer uma análise de dimensões! Olha só, a velocidade é dada por m/s, certo? Então K tem de ter unidades de velocidade, porque dentro do termo, não teremos unidade! Olha só, no termo:

1 ± b r 2

r é dado por m, ele está sendo elevado ao quadrado, assim, b tem de ter uma unidade de m elevado ao quadrado também!

Assim,

K = L t = m / s

b = L 2 = m 2

Passo 2

Vamo fazer nosso esqueminha! Teremos um círculo com raio r = b , assim:

Teremos que v r = 0 quando estivermos no raio máximo ou ao longo do eixo y!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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