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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 53

Considere uma região irrotacional de escoamento planar no plano r θ . Mostre que a função de corrente ψ satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Bom, aqui nós iremos demonstrar que a função corrente satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos começar conhecendo as componentes:

u r = 1 r ∂ ψ d θ e u θ = - ∂ ψ d r

Para que seja escoamento irrotacional a vorticidade deve ser zero, sendo assim, a componente z deve ser zero:

ζ → z = 1 r ∂   r u θ ∂ r - ∂   u r ∂ θ

ζ → z = 1 r ∂ ∂ r - r ∂ ψ d r - ∂ ∂ θ 1 r ∂ ψ d θ = 0

O r sai derivado no último termo, por não ser função de θ , assim:

1 r ∂ ∂ r r ∂ ψ d r + 1 r 2 ∂ 2 ψ d θ 2 = 0

Prontinho!!

Resposta

1 r ∂ ∂ r r ∂ ψ d r + 1 r 2 ∂ 2 ψ d θ 2 = 0

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