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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 96

Calcule as nove componentes do tensor de tensão viscosa em coordenadas cilíndricas (veja o Capítulo 9) para o campo de velocidade do Problema 10-95. Discuta.

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule as tensões de cisalhamento τ (chamadas de tensões viscosas pelo enunciado) presentes no escoamento do problema 10-95. Esse escoamento é mostrado na figura abaixo.

u θ é a velocidade do fluido na direção θ , u r é a velocidade do fluido na direção r e u z é a velocidade do fluido na direção z . As tensões τ são as tensões de cisalhamento (tensões viscosas) que queremos descobrir. Γ é a intensidade do vórtice.

No próximo passo nós veremos como podemos utilizar as velocidades dadas par calcular τ .

Passo 2

Para calcular τ a partir das velocidades u θ , u r e u z , vamos usar a equação 9-63 do livro.

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 2 μ ∂ u r ∂ r     μ r ∂ ∂ r u θ r   + 1 r ∂ u r ∂ θ μ ∂ u r ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ r μ r ∂ ∂ r u θ r   + 1 r ∂ u r ∂ θ 2 μ 1 r ∂ u θ ∂ θ + u r r 2 μ 1 r ∂ u θ ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ θ μ ∂ u r ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ r 2 μ 1 r ∂ u θ ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ θ 2 μ ∂ u z ∂ z

Temos que calcular todas essas derivadas?

Calma! No próximo passo vamos fazer algumas observações que vão simplificar bastante as contas.

Passo 3

Antes de usar essa equação, precisamos fazer uma observação. Como as velocidades não variam com a direção θ nem com a direção z as taxas de variação das velocidades em relação a θ ∂ ∂ θ também chamada de derivada parcial em relação a θ e em relação a z ∂ ∂ z também chamada de derivada parcial em relação a z valem zero! Além disso, tanto u r quanto u Z também valem zero!

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 2 μ ∂ u r ∂ r     μ r ∂ ∂ r u θ r   + 1 r ⋅ 0 μ 0 + 1 r ∂ 0 ∂ r μ r ∂ ∂ r u θ r   + 1 r ⋅ 0 2 μ 1 r ⋅ 0 + 0 r 2 μ 1 r ⋅ 0 + 1 r ⋅ 0 μ 0 + 1 r ∂ 0 ∂ r 2 μ 1 r ⋅ 0 + 1 r ⋅ 0 2 μ ⋅ 0

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 0   0 0 0 0 0 0 0 0

Substituindo a fórmula de u θ nas expressões acima, achamos:

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 0 μ ⋅ r ∂ ∂ r Γ 2 π r r 0 μ ⋅ r ∂ ∂ r Γ 2 π r r 0 0 0 0 0

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 0 μ ⋅ r ⋅ - Γ π ⋅ r 3 0 μ ⋅ r ⋅ - Γ π ⋅ r 3 0 0 0 0 0

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 0 - μ Γ π ⋅ r 2 0 - μ Γ π ⋅ r 2 0 0 0 0 0

Pronto! Encontramos as tensões τ que queríamos!

Resposta

τ r r τ r θ τ r z τ θ r τ θ θ τ θ z τ z r τ z θ τ z z = 0 - μ Γ π ⋅ r 2 0 - μ Γ π ⋅ r 2 0 0 0 0 0

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