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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 81

Considere o seguinte campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível: V → = u ,   v = a x + b i ^ + - a y + c j ^ , onde a ,   b   e   c são constantes. Calcule a pressão em função de x e y.

Passo 1

Shoooow galerinha, vamos continuando?!

O problema já nos disse que o escoamento é permanente e incompressível !!

Mas nós precisamos fazer algumas considerações, vamos assumir que o escoamento é completamente desenvolvido e que podemos negligenciar os efeitos da gravidade, g x = g y = 0 .

Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

As componentes da velocidade são dadas pelo problema, não é verdade?

u = a x + b

v = - a y + c

E agora? O que faremos?

Derivamos, certo?

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x a x + b = a

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y - a y + c = - a

Substituindo:

a - a = 0

0 = 0

Isso nos diz que a equação da continuidade foi satisfeita!!

Passo 2

Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.

Para a direção x e y:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ P ∂ x + ρ g x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = - ∂ P ∂ y + ρ g y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2

Então precisamos de algumas derivadas, certo? Para a direção x:

∂ u ∂ t = ∂ ∂ t a x + b = 0

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y a x + b = 0

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x a = 0

∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 0 = 0

Na direção y:

∂ v ∂ t = ∂ ∂ t - a y + c = 0

∂ v ∂ x = ∂ ∂ x - a y + c = 0

∂ 2 v ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ v ∂ x = ∂ ∂ x 0 = 0

∂ 2 v ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ v ∂ y = ∂ ∂ y - a = 0

E agora a gente substitui tudooo!!

Primeiro em x:

ρ 0 + a x + b a + - a y + c 0 = - ∂ P ∂ x + ρ 0 + μ 0 + 0

∂ P ∂ x = - ρ a 2 x + a b

Então, a equação do momento para x é satisfeita desde que possamos o campo de pressão satisfaça esta relação, ok?

Agora vamos para a direção y:

ρ 0 + a x + b 0 + - a y + c - a = - ∂ P ∂ y + ρ 0 + μ 0 + 0

∂ P ∂ y = - ρ a 2 y - a c

Da mesma forma que a anterior, a equação do momento para y é satisfeita desde que possamos o campo de pressão satisfaça esta relação !!

Passo 3

Nós percebemos que para duas dimensões, a pressão deve ser dada em função de x e de y, não é?

Então, para que nós possamos calcular a pressão seja uma função regular de x e y um requisito é essencial !!

Matematicamente, a derivada cruzada da pressão deve ser igual, ok?

Ou seja:

∂ 2 P ∂ x ∂ y = ∂ 2 P ∂ y ∂ x

Calculemos então cada um separadamente:

∂ 2 P ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ P ∂ y = ∂ ∂ x - ρ a 2 y - a c = 0

∂ 2 P ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ P ∂ x = ∂ ∂ y - ρ a 2 x + a b = 0

Então:

∂ 2 P ∂ x ∂ y = ∂ 2 P ∂ y ∂ x

Como as derivadas cruzadas não são iguais, a pressão é uma função regular!!

Agora é só calcular!!

Passo 4

Boom galerinha, para obter a pressão nós podemos usar uma as equações das derivadas que nós acabamos de achar no Passo 2 e integrá-las !

Vamos começar pela equação do momento para x :

∫ ∂ P ∂ x = ∫ - ρ a 2 x + a b

∫ ∂ P = ∫ - ρ a 2 x + a b . ∂ x

P x , y = - ρ a 2 x 2 2 + a b x + g ( y )

Porque adicionamos esta função de y ?

Neste caso g ( y ) é a nossa constante, já que aqui temos uma derivada parcial quando derivarmos g ( y ) ela resultará zeroo!!

Se derivarmos a pressão agora em relação a y :

∂ P ∂ y = g ' ( y )

Substituindo ∂ P ∂ y :

g ' y = - ρ a 2 y - a c

Para acharmos a pressão precisamos de g y , então vãos integrar esta equação, ok?

∫ g ' y . d y = ∫ - ρ a 2 y - a c . d y

g y = - ρ a 2 y 2 2 - a c y + C 1

Portanto:

P x ,   y = - ρ a 2 x 2 2 + a b x - ρ a 2 y 2 2 - a c y + C 1

P x ,   y = - ρ a 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 + a b x - a c y + C 1

Legaal, não foi ?!

Resposta

P x ,   y = - ρ a 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 + a b x - a c y + C 1

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