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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 28

5.28 A função de corrente para certo ampo de escoamento incompressível é dada pela expressão ψ = - U r   s e n   θ + q θ / 2 π . Obtenha uma expressão para o campo de velocidade. Encontre o(s) ponto(s) de estagnação em que V → = 0 , e mostre que ali ψ = 0 .

Passo 1

Usando a definição de função de corrente

V r ≡ 1 r ∂ ψ ∂ θ

Como ψ = - U r   s e n   θ + q θ / 2 π

V r = 1 r ∂ - U r   s e n   θ + q θ 2 π ∂ θ

V r = 1 r - U r cos ⁡ θ + q 2 π

V r = - U cos ⁡ θ + q 2 r π

Usando a definição de função de corrente

V θ ≡ - ∂ ψ ( r , θ ) ∂ r

Como ψ = - U r   s e n   θ + q θ / 2 π

V θ = - ∂ - U r   s e n   θ + q θ 2 π ∂ r

V θ = U   s e n   θ + 0

V θ = U   s e n   θ

A expressão para o campo de velocidade

V → = ê r - U cos ⁡ θ + q 2 r π + ê θ U   s e n   θ

Passo 2

Só teremos V → = 0 quando V r = V θ = 0

Quando V r = 0

0 = - U cos ⁡ θ + q 2 r π

U cos ⁡ θ = q 2 r π

r = q 2 U r π cos ⁡ θ

Quando V θ = 0

0 = U   s e n   θ

s e n   θ = 0

θ = 0 ∨ θ = π

Para θ = 0

r = q 2 U r π cos ⁡ 0

r = q 2 U r π ( 1 )

r = q 2 U r π

Para θ = π

r = q 2 U r π cos ⁡ π

r = q 2 U r π ( - 1 )

r = - q 2 U r π

Porém r não pode ser negativo, então o ponto de estagnação

r , θ = q 2 U r π , 0

Fazendo a função de corrente nesse ponto

ψ e s t a g = - U q 2 U r π   s e n   0 + q 0 / 2 π

ψ e s t a g = - U q 2 U r π   0 + 0

ψ e s t a g = 0

Resposta

V → = ê r - U cos ⁡ θ + q 2 r π + ê θ U   s e n   θ

r , θ = q 2 U r π , 0

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