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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 71

Considere a seguinte função bidimensional f (x, y):

  f =   A x 3 + B x y 2 + C x 2 + D   e m   q u e   A >   0  

(a) Sob que condições, se houver alguma, sobre (A, B, C, D) essa função pode ser um potencial de velocidade de escoamento plano permanente? (b) Se você encontrar uma função ϕ (x, y) que satisfaça a parte (a), encontre também a função corrente associada ψ (x, y), se houver alguma, para esse escoamento.

Passo 1

Bora pra mais uma!

  1. Para haver um potencial de velocidade, a função deve satisfazer a equação de Laplace, portanto:

    2. ∇ 2 f = 6 A x + B x + 2 C = 0

    Note que, uma forma com que a equação acima é satisfeita, é se:

    C = 0 → B = - 3 A   ∀ x ≠ 0 . Mas note que se x=0, a função também se anula, portanto, essas condições tornam nossa função f um potencial de velocidade, que é descrito por:

    ϕ = A x 3 - 3 A x y 2 + D

    Passo 2

  2. Agora, vamos achar a função corrente:

∂ ψ ∂ y = ∂ ϕ ∂ x ; ∂ ψ ∂ x = - ∂ ϕ ∂ y

∂ ψ ∂ y = 3 A x 2 - 3 A y ² ;   ∂ ψ ∂ x = 6 A y x

ψ y = 3 A x 2 y - A y 3 + c o n s t x ; ψ x = 3 A x ² y + c o n s t y

Comparando-as, temos:

ψ x , y = 3 A x 2 y - A y 3 + c o n s t

Resposta

Se C=0, B=-3A, temos que ϕ = A x 3 - 3 A x y 2 + D , e   ψ x , y = 3 A x 2 y - A y 3 + c o n s t .

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