69 – Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno , raio externo e condutividade térmica é usado para armazenar água quente e mantê-la a . Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de Considerando que do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner; (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a

a)

Escreva a equação geral de condução de calor no caso de coordenadas esféricas para transferência de calor unidimensional na direção radial, estado estacionário e sem geração interna de calor.

Precisamos de duas condições de contorno para resolver a equação diferencial acima. Dado que, no raio interno , a temperatura da superfície interna do recipiente é. Assim,

Matematicamente, a primeira condição de contorno é

A outra condição de contorno está no raio externo, onde a quantidade máxima de fluxo de calor é 

Expresse a condição de contorno matematicamente, assumindo que:

e

Aqui,  é a condutividade térmica do tanque esférico.

Portanto, a segunda condição de contorno é

b) Escreva a equação geral de condução de calor na direção radial, estado estacionário sem geração interna de calor.

Integre a equação diferencial acima,

Aqui é a constante de integração.

Novamente, integre a equação acima,

Aqui, é a constante de integração.

Aplique a segunda condição de contorno para encontrar o valor constante  da equação (1). Assumindo que:

Aplique a primeira condição de contorno para encontrar o valor constante  da equação (2). Logo, temos que e

Agora substitua esse valor de e o valor de na equação (2).

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

Portanto, a distribuição de temperatura no recipiente é 

c) Agora avalie a temperatura da superfície externa substituindo  na distribuição de temperatura.

Substitua   e .

Substitua .

Portanto, a temperatura da superfície externa do recipiente é 

Calcule a quantidade máxima de calor fornecida ao aquecedor,

Portanto, de calor são entregues à água fria para aquecer a temperatura de .

Temos que a temperatura média é dada por:

Obtenha o calor específico da água em temperatura média .

Agora encontre a vazão mássica da água usando a equação,

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

Portanto, a quantidade de água quente a fornecida é fornecida pelo tanque, tem a vazão de .