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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 2.Exercício - Ex. 47

Um cubo de peso específico γ c flutua num líquido de peso específico γ l . Determinar a relação γ c / γ l para que o cubo flutue com as arestas na vertical.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como o cubo flutua, o empuxo será igual ao peso do cubo. Temos que:

E = G

Desenvolvendo, temos que:

γ L V s u b = γ c V c

γ L A h s u b = γ c A h c

Logo:

h s u b = γ c γ L b

Para efeito de cálculo, vamos chamar x = γ c γ L , portanto:

h s u b = x b

Passo 2

Podemos definir a distância entre o centro de gravidade e o centro de pressão como:

l = b 2 - h s u b 2

Substituindo h s u b , temos que:

l = b 2 - x b 2

Pela teoria temos que r que é a altura metacêntrica, para um corpo que flutua, deve ser maior que zero, logo:

r > 0

Podemos definir r como:

γ I y G - l > 0

Substituindo os valores conhecidos, temos que:

γ l I y γ c V c - l > 0

I y x b 3 - l > 0

Logo:

b 4 12 x b 3 - b 2 - x b 2 > 0

Passo 3

Simplificando a expressão do passo anterior, temos que:

b 12 x - b 2 + x b 2 > 0

Multiplicando por 12 x e dividindo por b temos que:

1 - 6 x + 6 x 2 > 0

6 x 2 - 6 x + 1 > 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos que:

x 1 = 0,21

E:

x 2 = 0,79

O que nos leva a concluir que:

0 < x < 0,21

0 < γ c γ L < 0,21

E:

0 , 79 < x < 1

0 , 79 < γ c γ L < 1

Resposta

0 < γ c γ L < 0,21

0,79 < γ c γ L < 1

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