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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 130

Considere um cilindro de madeira ( d = 0,6 ) de 1   m de diâmetro e 0,8   m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ( d = 0,8 ) ?

Passo 1

Fala galera, vem comigo resolver essa questão!!

Queremos aqui encontrar se o cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo. Para isso, podemos começar usando a ideia de que as forças que atuam verticalmente o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero. Assim temos:

γ ó l e o V d e s l o c a d o = γ m a d e i r a V c i l i n d r o

Aqui, V d e s l o c a d o é o volume de líquido deslocado, V c i l i n d r o é o volume do cilindro de madeira, γ ó l e o é o peso especifico do óleo e γ m a d e i r a é o peso especifico da madeira.

d ó l e o γ á g u a V d e s l o c a d o = d m a d e i r a γ á g u a V c i l i n d r o

d ó l e o π R 2 h = d m a d e i r a π R 2 L

h = d m a d e i r a d ó l e o L

h = 0,6 0,8 0,8   m

h = 0,6   m

Passo 2

Para que o cilindro de madeira seja estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo, precisamos que:

M G - > 0

Para obter M G - , podemos usar a formula 2.37:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

Em que G é o centróide, M é o metacentro, E é o centro de flutuabilidade, I O é o momento de inércia e v s u b m e r s o é o volume submerso. Para um cilindro o momento de inercia é dado por:

I O = π 4 R 4

O volume submerso para essa questão é:

v s u b m e r s o = π R 2 h

O centro de gravidade está em L / 2 acima do fundo e E está em h / 2 acima do fundo. Para essa questão a distancia G E - é dada por:

G E - = L 2 - h 2 = L - h 2

Passo 3

Agora que temos todos os dados, vamos substituir na equação 2.37.

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

π 4 R 4 π R 2 h = M G - + L - h 2

M G - = R 2 4 h - L - h 2

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

M G - = 0,5   m 2 4 0,6   m - 0,8   m - 0,6   m 2

M G - = 4,167 × 10 - 3

Esse resultado mostra que o cilindro de madeira é estável no óleo.

Passo 4

Se olharmos o resultado no livro, vamos ver que é levemente instável. O resultado obtido foi

M G - = 7 × 10 - 3

Isso é encontrado quando a densidade relativa do óleo d = 0,85 . Podendo isso ser um erro de digitação no livro.

Resposta

O cilindro de madeira estável

M G - = 4,167 × 10 - 3

Obs.: Olhar o passo 4 para entender porque está dando diferente do livro.

Ver Outros Exercícios desse livro

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