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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 8

Deixe o vetor G → ser dado por G → = 2 x z i → - 1 2 x 2 j → + z 2 k → . Calcule o divergente de G → , e simplifique o máximo possível. Existe algo de especial no seu resultado?

Passo 1

Faaaaaala galerinhaa !!

Esta é bem legal!!

Se lembram como calculamos o divergente de um vetor?

É bem simples:

∇ →   .   G →

Então basta nós multiplicarmos o vetor G → pelo operador ∇ → !

Sabendo que:

G → = 2 x z i - 1 2 x 2 j + z 2 k

∇ → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

Portanto:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . 2 x z i - 1 2 x 2 j + z 2 k

Multiplicando os termos nas suas respectivas direções:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x 2 x z + ∂ ∂ y - 1 2 x 2 + ∂ ∂ z z 2

Agora nós precisamos realizar as derivadas parciais:

∂ ∂ x 2 x z = 2 z

∂ ∂ y - 1 2 x 2 = 0

∂ ∂ z z 2 = 2 z

Substituindo:

∇ →   .   G → = 2 z + 0 + 2 z

∇ →   .   G → = 4 z

Aqui apareceu um dilema, não é? A resposta ao lado do exercício está ∇ →   .   G → = 0 .

De fato as versões em inglês trazem o vetor G →   como:

G → = 2 x z i - 1 2 x 2 j - z 2 k

E neste caso, quando derivássemos:

∇ →   .   G → = 2 z + 0 - 2 z

∇ →   .   G → = 0

O importante aqui é vocês compreenderem como foi feito o exercício, ok?

Bora continuar?

Resposta

∇ →   .   G → = 4 z

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