An incompressible, irrotational, two-dimensional fl ow has

the following stream function in polar coordinates:

ψ 5 A rn sin (nθ) where A and n are constants.

Find an expression for the velocity potential of this flow

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

É dada a função de fluxo em coordenada polar,

ψ = A r n s i n ⁡ ( n θ )

Temos a relação entre o potencial de velocidade e a função de fluxo,

∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ θ … . . ( 1 ) 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r … . . ( 2 )

A partir da relação (1), o valor do termo diferencial

∂ ϕ ∂ r   = 1 r ∂ A r n s i n ⁡ ( n θ ) ∂ θ ∂ ϕ ∂ r   = n A r n r c o s ⁡ ( n θ ) ϕ   = ∫   n A r n - 1 c o s ⁡ ( n θ ) d r   = n A c o s ⁡ ( n θ ) r n n + C   = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

Passo 2

Da relação (2), o valor do termo diferencial

1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ A r n s i n ⁡ ( n θ ) ∂ r ∂ ϕ ∂ θ = - r n A s i n ⁡ ( n θ ) r n - 1 ϕ   = - ∫   r n n A s i n ⁡ ( n θ ) d θ   = r n n A c o s ⁡ ( n θ ) n + C   = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

Portanto, de ambas as relações, o potencial de velocidade é ϕ = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C .

Resposta

ϕ = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

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