Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 78

An incompressible, irrotational, two-dimensional fl ow has

the following stream function in polar coordinates:

ψ 5 A rn sin (nθ) where A and n are constants.

Find an expression for the velocity potential of this flow

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

É dada a função de fluxo em coordenada polar,

ψ = A r n s i n ⁡ ( n θ )

Temos a relação entre o potencial de velocidade e a função de fluxo,

∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ θ … . . ( 1 ) 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r … . . ( 2 )

A partir da relação (1), o valor do termo diferencial

∂ ϕ ∂ r   = 1 r ∂ A r n s i n ⁡ ( n θ ) ∂ θ ∂ ϕ ∂ r   = n A r n r c o s ⁡ ( n θ ) ϕ   = ∫   n A r n - 1 c o s ⁡ ( n θ ) d r   = n A c o s ⁡ ( n θ ) r n n + C   = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

Passo 2

Da relação (2), o valor do termo diferencial

1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ A r n s i n ⁡ ( n θ ) ∂ r ∂ ϕ ∂ θ = - r n A s i n ⁡ ( n θ ) r n - 1 ϕ   = - ∫   r n n A s i n ⁡ ( n θ ) d θ   = r n n A c o s ⁡ ( n θ ) n + C   = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

Portanto, de ambas as relações, o potencial de velocidade é ϕ = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C .

Resposta

ϕ = A r n c o s ⁡ ( n θ ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o potencial de velocidade bidimensional ϕ ( r , θ ) para o padrão de escoamento em coordenadas polares v r =Q / r , y θ =K / r , em que Q e K são constantes.
Um potencial de velocidade plano em coordenadas polares é definido por ϕ = K c o s θ r ; K = c o n s t Encontre a função corrente para esse escoamento, faça o esboço de algumas linhas de corrente e li
Para a distribuição de velocidade do Problema P4.4, (a) determine se existe um potencial de velocidade e (b) em caso afirmativo encontre uma expressão para ϕ (x, y) e faça o esboço da linha equipotenc
Considere o potencial de velocidade bidimensional incompressível em coordenadas polares ϕ = B rc o s θ +B L θ em que B é uma constante e L é uma escala de comprimento constante. (a) Quais são as dimen
Um modelo CFD do escoamento incompressível permanente bidimensional imprimiu os valores da função potencial de velocidade ϕ (x, y), em m²/s, em cada um dos quatro cantos de uma pequena célula de 10 cm