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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas de Projeto - Ex. 2

PP8.2 – Modifique o Problema PP8.1 para determinar a distribuição de fontes pontuais que aproxima um corpo de revolução de formato “0018”. Uma vez que não existe resultados publicados, simplesmente se certifique se de que seus resultados convirjam com uma tolerância de mais ou menos 1%.

Passo 1

...

Passo 2

...

Pela Eq. do Problema P8.114:

2 y t m á x = 1,4845 ζ 0,5 - 0,63 ζ - 1,758 ζ 2 + 1,4215 ζ 3 - 0,5075 ζ 4

Onde,

ζ = x C

Sendo

t m á x C = 0,18

C = 5,555 t m á x

ζ = 0,18 x t m á x

Assim,

2 y t m á x = 1,4845 0,18 x t m á x 0,5 - 0,63 0,18 x t m á x - 1,758 0,18 x t m á x 2 + 1,4215 0,18 x t m á x 3 - 0,5075 0,18 x t m á x 4

2 y t m á x = 0,63 x t m á x 0,5 - 0,1134 x t m á x - 0,057 x t m á x 2 + 0,0083 x t m á x 3 - 0,00053 x t m á x 4

Deixando a equação acima explicita em y:

y = t m á x 0,315 x t m á x 0,5 - 0,057 x t m á x - 0,0285 x t m á x 2 + 0,00415 x t m á x 3 - 0,0003 x t m á x 4

Passo 3

Como a função total de y é dividida em N partes, assim teremos N equações que seguiram a seguinte relação para cada equação i:

y i = t m á x 0,315 x i t m á x 0,5 - 0,057 x i t m á x - 0,0285 x i t m á x 2 + 0,00415 x i t m á x 3 - 0,0003 x i t m á x 4

Onde, para i = 1, na primeira intensidade:

y 1 = t m á x 0,315 x 1 t m á x 0,5 - 0,057 x 1 t m á x - 0,0285 x 1 t m á x 2 + 0,00415 x 1 t m á x 3 - 0,0003 x 1 t m á x 4

...

Para i = N, na última intensidade:

y N = t m á x 0,315 x N t m á x 0,5 - 0,057 x N t m á x - 0,0285 x N t m á x 2 + 0,00415 x N t m á x 3 - 0,0003 x N t m á x 4

Passo 4

Para calcularmos as velocidades, podemos usar o método iterativo dado pela Eq. 8.115 que é:

u i j + 1 = 1 - 2 σ u i j + σ ( u i - 1 j + u i + 1 j )

Onde, j é o nº do passo e σ é referente a intensidade do passo

σ = v ∆ t ∆ y 2

∆ y = y i - y i - 1

Para a velocidade inicial temos que:

u 0 = u ∞

Assim,

u i j = u ∞ s e n ( t j )

Onde,

t j = t 0 + ∆ t

Passo 5

Assim, o sistema de equações lineares vai ficar da seguinte forma:

Para j = 1:

u 1 2 = 1 - 2 σ u 1 1 + σ ( u 0 1 + u 2 1 )

u 2 2 = 1 - 2 σ u 2 1 + σ ( u 1 1 + u 3 1 )

...

u N 2 = 1 - 2 σ u N 1 + σ ( u 1 - N 1 + u N + 1 1 )

Para resolver este sistema de equações, você pode usar um programa computacional, tal como o Matlab, ou Python.

Resposta

Equação geral para y(x):

y i = t m á x 0,315 x i t m á x 0,5 - 0,057 x i t m á x - 0,0285 x i t m á x 2 + 0,00415 x i t m á x 3 - 0,0003 x i t m á x 4

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