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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 34

Na derivação de uma equação de Bernoulli para regiões de escoamento sem viscosidade, usamos a identidade vetorial:

V → ⋅ ∇ → V → = ∇ → V 2 2 - V → x   ( ∇ →   x   V → )

Mostre que essa identidade vetorial é satisfeita para o caso do vetor de velocidade V → em coordenadas cartesianas, isto é, V → = u i → + v j → + w k → . Para ter pontuação máxima, expanda cada termo o máximo possível e mostre todo o seu trabalho

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, o problema quer que mostremos que a identidade vetorial mostrada no enunciado é satisfeita para o caso do vetor de velocidade V → em coordenadas cartesianas. Assim, primeiramente podemos expandir cada termo na identidade vetorial com cuidado.

Passo 2

Assim, o primeiro termo ( V → ⋅ ∇ → V → ) (produto escalar) pode ser expandido como:

V → ⋅ ∇ → V → = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z i → + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z j → + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z k →

Lembrando que o termo “ ∇ → ” é o gradiente da velocidade dada por “ V → = u i → + v j → + w k → ”

Agora, analisemos o segundo termo(produto escalar) ∇ → V 2 2 :

∇ → V 2 2 = 1 2 ∂ u ² ∂ x + ∂ v ² ∂ x + ∂ w ² ∂ x i → + ∂ u ² ∂ y + ∂ v ² ∂ y + ∂ w ² ∂ y j → + ∂ u ² ∂ z + ∂ v ² ∂ z + ∂ w ² ∂ z k →

E por fim, o terceiro termo (produto vetorial) V → x   ∇ →   x   V → :

V → x   ∇ →   x   V → = v ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y - w ∂ u ∂ z - ∂ w ∂ x i → +   w ∂ w ∂ y - ∂ v ∂ z - u ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y j → + u ∂ u ∂ z - ∂ w ∂ x - v ∂ w ∂ y - ∂ v ∂ z k →  

Obs: Lembrando que resolvemos produto vetorial por determinante.

Passo 3

Quando substituímos as Eqs. 1 a 3 na equação dada no enunciado, vemos que todos os termos desaparecem e a equação é satisfeito.

Podemos mostar isso apenas para a direção x (todos os termos do vetor de unidades i → )

Então, a equação V → ⋅ ∇ → V → = ∇ → V 2 2 - V → x   ( ∇ →   x   V → )

Analisada somente na direção x , é:

u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ x + w ∂ w ∂ x - v ∂ v ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z - w ∂ w ∂ x     → 0 = 0

A álgebra é semelhante para j →   e   k → , e a identidade do vetor é mostrada verdadeira nas coordenadas cartesianas.

Resposta

Protanto, foi mostrado que a identidade do vetor é verdadeira nas coordenadas cartesianas

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