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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 72

Derive as Equações C.3, C.6 e C.9 do Apêndice C.

Passo 1

Fala Galera!! Bora resolver essa questão comigo??

A equação C.3 é a seguinte:

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r^2)/(r_2^2)) - [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] ((1 // r) - (1 // r_2))/((1 // r_1) - (1 // r_2))

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d T)/(d r) . Podemos rescrever a equação da seguinte forma:

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) - (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) ((r^2)/(r_2^2)) - (1)/(((1)/(r_1)) - ((1)/(r_2))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] * [((1)/(r)) - ((1)/(r_2))]

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) - (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) ((r^2)/(r_2^2)) - (1)/(((1)/(r_1)) - ((1)/(r_2))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] ((1)/(r)) + (1)/(((1)/(r_1)) - ((1)/(r_2))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] ((1)/(r_2))

Derivando-a, temos:

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) ((2 r)/(r_2^2)) - (1)/(((1)/(r_1)) - ((1)/(r_2))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] (- (1)/(r^2))

Portando, a derivada da equação C.3 é

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r)/(3 k) + (1)/(r^2 [(1 // r_1) - (1 // r_2)]) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)]

Passo 2

A equação C.6 é a seguinte:

q^(' ') (r) = (overset(˙)(q) r)/(3) - (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r^2 [(1 // r_1) - (1 // r_2)])

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d q^(' '))/(d r) . Podemos rescrever a equação da seguinte forma:

q^(' ') (r) = (overset(˙)(q) r)/(3) - (1)/(r^2) * (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/((1 // r_1) - (1 // r_2))

Derivando-a, temos:

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(3) + (2)/(r^3) * (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(ln (r_2 // r_1))

Portando, a derivada da equação C.6 é

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(3) + (2 k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r^3 [(1 // r_1) - (1 // r_2)])

Passo 3

A equação C.9 é a seguinte:

q (r) = (overset(˙)(q) 4 pi r^3)/(3) - (4 pi k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/((1 // r_1) - (1 // r_2))

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d q)/(d r) . Derivando-a, temos:

(d q)/(d r) = overset(˙)(q) 4 pi r^2

Portando, a derivada da equação C.9 é

(d q)/(d r) = overset(˙)(q) 4 pi r^2

Resposta

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r)/(3 k) + (1)/(r^2 [(1 // r_1) - (1 // r_2)]) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)]

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(3) + (2 k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(6 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r^3 [(1 // r_1) - (1 // r_2)])

(d q)/(d r) = overset(˙)(q) 4 pi r^2

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