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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 109

Um método usado para formar nanofios (nanotubos com núcleo sólido) inicia-se com a deposição de uma pequena gota de um catalisador líquido sobre uma superfície plana. A superfície e o catalisador são aquecidos e simultaneamente expostos a um gás, com alta temperatura e baixa pressão, que contém uma mistura de espécies químicas, a partir das quais o nanofio será formado. O catalisador líquido vagarosamente absorve as espécies do gás através de sua superfície superior e as converte em um material sólido sobre a interface inferior líquido-sólido, resultando na construção do nanofio. O catalisador líquido permanece suspenso na extremidade superior do nanotubo.

Considere o crescimento de um nanofio de carbeto de silício com 15 nm de diâmetro sobre uma superfície de carbeto de silício. A superfície é mantida a uma temperatura T s = 2400 K e o catalisador líquido específico que é usado deve ser mantido na faixa de 2400 K ≤ T c ≤ 3000 K para executar a sua função. Determine o comprimento máximo de um nanofio que pode ser formado em condições caracterizadas por h = 10 5   W / ( m 2 . K ) e T ∞ = 8000 K. Suponha que as propriedades do nanofio sejam as mesmas do carbeto de silício em escala normal.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos notar, é que esse exercício se trata de uma superfície estendida com convecção na extremidade. Dessa forma, a distribuição de temperaturas é dada por:

θ θ b = cosh ⁡ m L - x + h m k senh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L + h m k senh ⁡ m L

Onde nós temos:

m = h P k A c 1 2

Substituindo as expressões para o perímetro e a área de seção transversal nessa equação, sabendo que temos uma aleta piniforme, chegamos em:

m = h π D k π D 2 4 1 2 = 4 h π D k π D 2 1 2 → m = 4 h k D 1 2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

m = 4 10 5 30 15.10 - 9 1 2 → m = 9,43.10 5

Agora nós vamos calcular a relação h / m k , que será dada por:

h m k = 10 5 9,43.10 5 30 → h m k = 3,53.10 - 3

Passo 2

Agora nós vamos substituir os valores conhecidos na equação para a distribuição de temperatura, calculado em x = L , pois estamos interessados no comprimento máximo do fio, então teremos:

θ θ b = cosh ⁡ m L - x + h m k senh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L + h m k senh ⁡ m L

3000 - 8000 2400 - 8000 = cosh ⁡ 9,43.10 5 L - L + 3,53.10 - 3 senh ⁡ 9,43.10 5 L - L cosh ⁡ 9,43.10 5 L + 3,53.10 - 3 senh ⁡ 9,43.10 5 L

0,893 = cosh ⁡ 0 + 3,53.10 - 3 senh ⁡ 0 cosh ⁡ 9,43.10 5 L + 3,53.10 - 3 senh ⁡ 9,43.10 5 L

Resolvendo essa equação com o auxílio de uma calculadora, chegamos em:

L = 5,1.10 - 7   m

Resposta

L = 5,1.10 - 7   m

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