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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 71

Derive as Equações C.2, C.5 e C.8 do Apêndice C.

Passo 1

Fala Galera!! Bora resolver essa questão comigo??

A equação C.2 é a seguinte:

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r^2)/(r_2^2)) - [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] (ln (r_2 // r))/(ln (r_2 // r_1))

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d T)/(d r) . Podemos rescrever a equação da seguinte forma:

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) - (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) ((r^2)/(r_2^2)) - (1)/(ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] ln ((r_2)/(r))

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) - (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) ((r^2)/(r_2^2)) - (1)/(ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] (ln r_2 - ln r)

T (r) = T_s , 2 + (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) - (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) ((r^2)/(r_2^2)) - (1)/(ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] (ln r_2) + (1)/(ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] (ln r)

Derivando-a, temos:

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) ((2 r)/(r_2^2)) + (1)/(ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)] ((1)/(r))

Portando, a derivada da equação C.2 é

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r)/(2 k) + (1)/(r ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)]

Passo 2

A equação C.5 é a seguinte:

q^(' ') (r) = (overset(˙)(q) r)/(2) - (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r ln (r_2 // r_1))

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d q^(' '))/(d r) . Podemos rescrever a equação da seguinte forma:

q^(' ') (r) = (overset(˙)(q) r)/(2) - (1)/(r) * (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(ln (r_2 // r_1))

Derivando-a, temos:

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(2) + (1)/(r^2) * (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(ln (r_2 // r_1))

Portando, a derivada da equação C.5 é

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(2) + (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r^2 ln (r_2 // r_1))

Passo 3

A equação C.8 é a seguinte:

q (r) = overset(˙)(q) pi L r^2 - (2 pi L k)/(ln (r_2 // r_1)) * [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)]

A variável dessa questão é o raio (r) , portanto, todos os outros termos serão considerados constantes, e a derivada dela será da forma (d q)/(d r) . Derivando-a, temos:

(d q)/(d r) = 2 overset(˙)(q) pi L r

Portando, a derivada da equação C.8 é

(d q)/(d r) = 2 overset(˙)(q) pi L r

Resposta

(d T)/(d r) = - (overset(˙)(q) r)/(2 k) + (1)/(r ln ((r_2)/(r_1))) [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)]

(d q^(' '))/(d r) = (overset(˙)(q))/(2) + (k [(overset(˙)(q) r_2^2)/(4 k) (1 - (r_1^2)/(r_2^2)) + (T_s , 2 - T_s , 1)])/(r^2 ln (r_2 // r_1))

(d q)/(d r) = 2 overset(˙)(q) pi L r

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