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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 45

Partindo de um volume de controle diferencial em forma de uma casca esférica, desenvolva a equação da difusão térmica para um sistema unidimensional na direção radial em coordenadas esféricas com geração interna de calor. Compare seu resultado com a Equação 2.29.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão pra gente ficar craque nesse assunto!

Bom, o nosso enunciado quer que a gente parta de um volume de controle e desenvolva a equação da difusão térmica radial em coordenadas esféricas e com geração de calor interna…

Relaxa que a gente consegue juntos!

Passo 2

Vamos começar indicando como será o volume de controle de uma casca cilíndrica:

V = A r   .   d r

V = 4   .   π   .   r 2   .   d r

Tranquilo até aqui, né? Vamos agora usar a conservação de energia, beleza?

E e n t r a d a - E s a í d a + E g e r a ç ã o = E s t

Com ela, vamos então discriminar cada termo de energia, ok?

Passo 3

Primeiro vamos ver a E e n t r a d a …

E e n t r a d a = q r

q r =   - k   .   A r   .   ∂ T ∂ r

q r =   - k   .   4   .   π   .   r ²   .   ∂ T ∂ r

Beleza? Vamos agora então para E s a í d a :

E s a í d a = q r + d r

q r + d r = q r + ∂ ∂ r q r   .   d r

q r + d r = q r + ∂ ∂ r - k   .   4   .   π   .   r ²   .   ∂ T ∂ r   .   d r

Show! Agora vamos para o E g e r a ç ã o :

E g e r a ç ã o = q   .   V

E g e r a ç ã o = q   .   4   .   π   .   r ²   .   d r

E por último o E s t …

E s t = ρ   .   V   .   c p   .   ∂ T ∂ t

E s t = ρ   .   4   .   π   .   r ²   .   d r   .   c p   .   ∂ T ∂ t

Passo 4

Agora partiu juntar tudinho na equação de conservação de energia? Vamos lá!

E e n t r a d a - E s a í d a + E g e r a ç ã o = E s t

- q r - q r + ∂ ∂ r - k   .   4   . π   .   r ²   .   ∂ T ∂ r   .   d r + q   .   4   .   π   .   r ²   .   d r   =   ρ   .   4   .   π   .   r ²   .   d r   .   c p   .   ∂ T ∂ t

Agora vamos cortar o que der… e também como temos em todos os termos o 4   .   π   .   r ²   .   d r , vamos dividir todo mundo por ele, beleza?

Assim, nossa simplificação vai ficar:

1 r ²   .   ∂ ∂ r k   .   r ²   .   ∂ T ∂ r + q = ρ   .   c p   .   ∂ T ∂ t

Prontinho, encontramos uma equação para a difusão térmica, e comparando com a equação 2.29, apresentada no livro, vemos que ela são correspondentes se a gente tirar os termos das coordenadas ( θ , Φ ).

Resposta

1 r ²   .   ∂ ∂ r k   .   r ²   .   ∂ T ∂ r + q = ρ   .   c p   .   ∂ T ∂ t

Comparando com a equação 2.29, apresentada no livro, vemos que ela são correspondentes se a gente tirar os termos das coordenadas ( θ , Φ ).

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