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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 167

Um destemido piloto, considerando a possibilidade de um recorde (o mais longo salto de motocicleta do mundo), pede ajuda ao seu consultor: para realizar o salto, o piloto deve atingir 875   k m / h (a partir do repouso sobre um terreno plano) e, para tanto, ele precisa da propulsão de um foguete. A massa total da motocicleta mais o motor do foguete sem combustível e mais o motociclista é de 375   k g . Os gases de combustão deixam o bocal do foguete horizontalmente, com velocidade de 2510   m / s e à pressão atmosférica. Avalie a mínima quantidade de combustível do foguete necessária para acelerar a motocicleta e o motociclista até a velocidade requerida.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) :

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t

Passo 4

Substituindo:

m 0 = m 1 + m 2

Sendo m 2 = m ˙ t :

u = v e ⋅ ln ⁡ m 1 + m 2 m 2

Rearranjando, obtemos:

m 2 = m 1 e u v e - 1

Passo 5

Sendo:

u = 875   k m / h = 243,05   m / s   ;

v e = 2510   m / s ;

m 1 = 375   k g .

Então:

m 2 = 375 e 243,05 2510 - 1 = 38,1   k g

Resposta

m 2 = 38,1   k g

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