Um trenó-foguete, com massa inicial de três toneladas métricas, incluindo uma tonelada de combustível, repousa sobre um trecho de uma pista nivelada. Em t = 0 , ocorre a ignição do combustível sólido do foguete e a queima dá-se a uma taxa de 75   k g / s . A velocidade de saída dos gases de combustão em relação ao foguete é de 2500   m / s , e a pressão de saída é atmosférica. Desprezando o atrito e a resistência do ar, calcule a aceleração e a velocidade do trenó em t = 10   s .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) ::

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t  

Passo 4

A velocidade em t = 10   s :

Sendo:

m ˙ = 7 5   k g / s ;

m 0 = 30 00   k g ;

v e = 250 0   m / s   .

Então:

u = 2500 ⋅ ln ⁡ 3000 3000 - 75 ⋅ 10 = 719   m / s

Passo 5

Sendo:

a = d u d t = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Utilizando os dados do Passo 4:

a = 2 5 00 ⋅ 7 5 30 00 - 7 5 ⋅ 10 = 83,3   m / s 2

Resposta

u = 719   m / s

a = 83,3   m / s 2

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