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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 4.Exercício - Ex. 23

Determinar o coeficiente α da energia cinética para o escoamento de um líquido num tubo de seção circular. O escoamento é laminar e o diagrama de velocidades é v = v m a x 1 - r R 2 .

Passo 1

Da equação 4.24 do livro, temos que α é dado por:

α = 1 A ∫ A   v v m 3 d A

Então, substituindo o valor do diagrama de velocidades fornecido, temos:

α = 1 A ∫ A   v m a x 1 - r R 2 v m 3 d A

Passo 2

No entanto, sabemos também que a velocidade média é v m = v m a x / 2 , e, como o enunciado disse que a seção era circular, então A = π R 2 → d A = 2 π r d r , substituindo esses valores na equação do passo 1, temos:

α = 1 π R 2 ∫ 0 R v m a x 1 - r R 2 v m a x 2 3 2 π r d r

Simplificando a expressão, temos:

α = 1 π R 2 ∫ 0 R r - r 3 R 2 3 1 8 2 π d r → α = 16 R 2 ∫ 0 R r R 2 - r 3 R 2 3 d r

α = 16 R 2 ∫ 0 R r R 2 - r 3 3 R 6 d r → α = 16 R 8 ∫ 0 R R 2 - r 2 3 r d r

Abrindo o produto notável, temos:

α = 16 R 8 ∫ 0 R R 6 - 3 R 4 r 2 + 3 R 2 r 4 - r 6 r d r → α = 16 R 8 ∫ 0 R R 6 r - 3 R 4 r 3 + 3 R 2 r 5 - r 7 d r

Passo 3

Agora podemos resolver a integral da seguinte forma:

α = 16 R 8 R 6 r 2 2 - 3 R 4 r 4 4 + 3 R 2 r 6 6 - r 8 8 0 R

Substituindo os limites de integração:

α = 16 R 8 R 6 R 2 2 - 3 R 4 R 4 4 + 3 R 2 R 6 6 - R 8 8 - 0 → α = 16 1 2 - 3 4 + 1 2 - 1 8

Simplificando a expressão, chegamos no resultado de α :

α = 16 0,125 → α = 2

Resposta

α = 2

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