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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 4.Exercício - Ex. 25

É dado um diagrama bidimensional de velocidades de um fluido ideal, num canal de largura de 2 m:

a) Qual a velocidade média na seção?

b) Qual é a vazão em volume?

c) Qual é o coeficiente α da energia cinética?

d) Qual é o fluxo da energia cinética, se ρ = 1000   k g / m 3 ?

e) Qual é a carga cinética?

Passo 1

Vamos começar o exercício calculando a velocidade média na seção, como temos um perfil de velocidades linear, a velocidade média será dada por:

v m = 4 + 2 2 → v m = 3   m / s

Passo 2

Agora, com a velocidade, podemos encontrar a vazão fazendo:

Q = v m A = v m b h = 3 2 5 → Q = 30   m 3 / s

Passo 3

Agora para encontrar o coeficiente α , vamos usar sua equação:

α = 1 A ∫ A   v v m 3 d A

Como o perfil de velocidades é linear, podemos escrevê-lo como:

v = C 1 y + C 2

Em que C 1 e C 2 são constantes a determinar. Dessa forma, olhando o perfil fornecido no enunciado, sabemos que:

y = 0 → v = 2

y = 5 → v = 4

Substituindo o primeiro conjunto de pontos na equação para a velocidade, temos:

2 = C 1 0 + C 2 → C 2 = 2

E, agora, usando o segundo conjunto de pontos e a constante C 2 encontrada:

4 = C 1 5 + 2 → C 1 = 0,4

Então, o perfil de velocidade é dado por:

v = 0,4 y + 2

Dessa forma, substituindo esse valor na equação para α , temos:

α = 1 b h ∫ 0 5 0,4 y + 2 3 3 b d y

Substituindo os valores conhecidos para b e h :

α = 1 2 ( 5 ) ∫ 0 5 0,4 y + 2 3 3 2 d y → α = 1 5 3 3 ∫ 0 5 0,4 y + 2 3 d y

Abrindo o produto notável, temos:

α = 1 135 ∫ 0 5 0,064 y 3 + 0,96 y 2 + 4,8 y + 8 d y

Agora, resolvendo a integral:

α = 1 135 0,064 y 4 4 + 0,96 y 3 3 + 4,8 y 2 2 + 8 y 0 5

Substituindo os limites de integração:

α = 1 135 0,064 5 4 4 + 0,96 5 3 3 + 4,8 5 2 2 + 8 5 - 0

Então, o valor de α será:

α = 1,11

Passo 4

Agora, para a letra d), vamos usar a fórmula para o fluxo da energia cinética, dada por

C = α ρ v m 3 A 2

Substituindo os valores conhecidos:

C = 1,11 1000 3 3 2 5 2 → C = 149,8   k W

Passo 5

E a carga cinética pode ser encontrada através de:

H C = α v m 2 2 g = 1,11 3 2 2 10 → H C = 0,5   m

Resposta

v m = 3   m / s

Q = 30   m 3 / s

α = 1,11

C = 149,8   k W

H C = 0,5   m

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