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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 175

Determine o fluxo térmico condutivo através de várias camadas planas que estão submetidas a temperaturas nas extremidades de T s ,   1 = 301   K e T s ,   2 = 299   K , e encontram-se a pressão atmosférica. Sugestão: Não leve em conta os micro e nano efeitos no interior do sólido e suponha que o coeficiente de acomodação térmica para a interface alumínio–ar seja igual a a t = 0,92 .

  1. Caso A: A camada plana é alumínio. Determine o fluxo térmico q x " para L t o t = 600   μ m e L t o t = 600   n m .
  2. Caso B: A condução ocorre através de uma camada de ar. Determine o fluxo térmico q x " para L t o t = 600   μ m e L t o t = 600   n m .
  3. Caso C: A parede composta é formada por ar mantido entre duas folhas de alumínio. Determine o fluxo térmico para L t o t = 600   μ m (com a espessura da folha de alumínio igual a d = 40   μ m ) e L t o t = 600   n m (com a espessura da folha de alumínio igual a δ = 40   n m ).
  4. Caso D: A parede composta é formada por 7 camadas de ar retidas entre oito folhas de alumínio. Determine o fluxo térmico para L t o t = 600   μ m (com a espessura das folhas de alumínio e das camadas de ar iguais a δ = 40   μ m ) e L t o t = 600   n m (com a espessura das folhas de alumínio e das camadas de ar iguais a δ = 40   n m ).

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão? Partiu!

O enunciado dá pra gente diferentes casos… Vamos analisar cada um com cuidado!

Mas antes de tudo precisamos de algumas informações adicionais que podemos buscar na tabela A.4, na tabela A.1 e na figura 2.8, beleza?

c p ,   a r = 1,007   J / k g . K k a r = 0,0263   W / ( m . K )

M a r = 28,97   k g / k m o l d a r = 0,372   .   10 - 9   m

k A l = 237   W / ( m . K )

Agora vamos para as continhas!

Na letra a, ele pediu pra gente o fluxo térmico, da camada de alumínio, apresentado dois valores de L , então vamos lá!

A gente sabe que a equação do fluxo térmico é dada por:

q x " = k   .   T s ,   1 - T s ,   2 L t o t

Primeiro para L t o t = 600   μ m :

q x " = 237   .   301 - 299 600   .   10 - 6

q x " = 7,9   .   10 5   W / m ²

Agora para L t o t = 600   n m :

q x " = 237   .   301 - 299 600   .   10 - 9

q x " = 7,9   .   10 8   W / m ²

Show!

Passo 2

Agora para a letra b, vamos fazer o mesmo que a letra, só que agora com a camada de ar, beleza?

Primeiro para L t o t = 600   μ m :

q x " = 0,0263   .   301 - 299 600   .   10 - 6

q x " = 87,7   W / m ²

Agora para L t o t = 600   n m :

q x " = 0,0263   .   301 - 299 600   .   10 - 9

q x " = 87700   W / m ²

Show de bola!

Passo 3

Partiu letra c! Também precisamos calcular o fluxo térmico, mas agora será um pouquinho diferente… Vamos lá!

Precisamos encontrar alguns termos para antes de ir para o cálculo que queremos, ok?

R = R M

R = 8,315 28,97

R = 0,287   k J / ( k g . K )

Vamos encontrar agora nosso c v :

c v = c p - R

c v = 1,007 - 0,287

c v = 0,720   k J / ( k g . K )

E o γ :

γ = c p c v

γ = 1,007 0,720

γ = 1,399

Tranquilo? Agora sim podemos ir encontrar o que nosso enunciado quer!

Passo 4

Primeiro com L t o t = 600   μ m → 600   .   10 - 6   m :

q = T s ,   1 - T s ,   2 R t ,   m - m + R t ,   m - s + R t ,   c o n d "

Precisamos do R t ,   m - m , vamos achar ele assim:

R t ,   m - m = L k a r

R t ,   m - m = L t o t - 2 . δ k a r

R t ,   m - m = 600   . 10 - 6 - 2   .   40   .   10 - 6 0,0263

R t ,   m - m = 0,0198   K . m ² / W

Agora o R t ,   m - s :

R t ,   m - s = λ m f p k a r   .   2 - a t a t . 9 . γ - 5 γ + 1

Opa! Precisamos encontrar esse λ m f p , vamos lá:

λ m f p = k B   .   T 2 . π . d ² . p

λ m f p = 1,381   .   10 - 23   .   300 2 . π . 0,372   .   10 - 9 ² . 1,0133   .   10 5

λ m f p = 66,5   .   10 - 9   m

Agora vamos colocar ele na equação anterior:

R t ,   m - s = 66,5   .   10 - 9 0,0263   .   2 - 0,92 0,92 . 9   .   1,399 - 5 1,399 + 1

R t ,   m - s = 9,39   .   10 - 6   K . m ² / W

Falta pouco! Precisamos agora do R t ,   c o n d " :

R t ,   c o n d " = 2 . δ k A l

R t ,   c o n d " = 2.40   .   10 - 6 237

R t ,   c o n d " = 3,38   .   10 - 7   K . m ² / W

Agora sim! Vamos achar a taxa de calor:

q = 301 - 299 0,0198   +   9,39   .   10 - 6   +   3,38   .   10 - 7

q = 101   W / m ²

Show!

Passo 5

Vamos fazer o mesmo agora para o L t o t = 600   n m → 600   .   10 - 9   m !

Precisamos do R t ,   m - m :

R t ,   m - m = L k a r

R t ,   m - m = L t o t - 2 . δ k a r

R t ,   m - m = 600   . 10 - 9 - 2   .   40   .   10 - 6 0,0263

R t ,   m - m = 1,98   .   10 - 6   K . m ² / W

O nosso R t ,   m - s será o mesmo, pois ele não depende de L , ok?

Vamos então para o R t ,   c o n d " :

R t ,   c o n d " = 2 . δ k A l

R t ,   c o n d " = 2.40   .   10 - 9 237

R t ,   c o n d " = 3,38   .   10 - 10   K . m ² / W

Arrasamos! Vamos achar a taxa de calor:

q = 301 - 299 1,98   .   10 - 6   +   9,39   .   10 - 6   +   3,38   .   10 - 10

q = 68,6   .   10 3   W / m ²

Conseguimos! Agora só falta a letra d!

Passo 6

Para a letra d vamos fazer o mesmo que na letra c, mas com as novas condições que ele deu, ok?

Primeiro com L t o t = 600   μ m → 600   .   10 - 6   m :

q = T s ,   1 - T s ,   2 R t ,   m - m + R t ,   m - s + R t ,   c o n d "

Precisamos do R t ,   m - m :

R t ,   m - m = L k a r

R t ,   m - m = L t o t   .   1 / 15 k a r

R t ,   m - m = 600   . 10 - 6 . 1 / 15   0,0263

R t ,   m - m = 0,00152   K . m ² / W

Novamente o nosso R t ,   m - s permanece o mesmo, ok?

Só precisamos agora do R t ,   c o n d " :

R t ,   c o n d " = 8 . δ k A l

R t ,   c o n d " = 8   .   40   .   10 - 6 237

R t ,   c o n d " = 1,35   .   10 - 6   K . m ² / W

Agora sim! Vamos achar a taxa de calor:

q = T s ,   1 - T s ,   2 7 .   R t ,   m - m + 7   .   R t ,   m - s + R t ,   c o n d "

q = 301 - 299 7   .   0,00152   +   7   .   9,39   .   10 - 6   +   1,35   .   10 - 6

q = 186,7   W / m ²

Tá quase…

Passo 7

Para a letra d vamos fazer o mesmo que na letra c, mas agora para o alumínio, ok?

Agora com o L t o t = 600   n m → 600   .   10 - 9   m :

Precisamos do R t ,   m - m :

R t ,   m - m = L k a r

R t ,   m - m = L t o t   .   1 / 15 k a r

R t ,   m - m = 600   . 10 - 9 . 1 / 15   0,0263

R t ,   m - m = 1,52   .   10 - 6   K . m ² / W

Só precisamos agora do R t ,   c o n d " :

R t ,   c o n d " = 8 . δ k A l

R t ,   c o n d " = 8   .   40   .   10 - 9 237

R t ,   c o n d " = 1,35   .   10 - 9   K . m ² / W

Agora sim! Vamos achar a última taxa de calor:

q = T s ,   1 - T s ,   2 7 .   R t ,   m - m + 7   .   R t ,   m - s + R t ,   c o n d "

q = 301 - 299 7   .   1,52   .   10 - 6   +   7   .   9,39   .   10 - 6   +   1,35   .   10 - 9

q = 26,2   .   10 3   W / m ²

Uhull! Terminamos!

Resposta

  1. Para L t o t = 600   μ m : q x " = 7,9   .   10 5   W / m ²

    2. Para L t o t = 600   n m : q x " = 7,9   .   10 8   W / m ²

  2. Para L t o t = 600   μ m : q x " = 87,7   W / m ²

    3. Para L t o t = 600   n m : q x " = 87700   W / m ²

  3. Para L t o t = 600   μ m : q x " = 101   W / m ²

    4. Para L t o t = 600   n m : q x " = 68,6   .   10 3   W / m ²

  4. Para L t o t = 600   μ m : q x " = 186,7   W / m ²

Para L t o t = 600   n m : q x " = 26,2   .   10 3   W / m ²

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