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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 40

A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma T = a x 3 + b x 2 + c x   + d . Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( x = 0 , L ).

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver questõezinhas!

Bom, o nosso enunciado quer que a gente desenvolva expressões da taxa de geração de calor e do fluxo térmico, nessas condições aí… humm…

Então vamos fazer isso!

Passo 2

Começando relembrando a equação que diz pra gente a taxa de geração de calor, beleza?

q =   - k   .   d 2 T d x 2

Vamos substituir nela a distribuição de temperatura que foi dada, belê?

q =   - k   .   d d x   . d   ( a x 3 + b x 2 + c x   + d ) d x  

q =   - k   .   d d x   . 3 . a x 2 + 2 . b x + c + 0

q =   - k     . 6   .   a x + 2   .   b + 0

q =   - k     . 6   .   a x + 2   .   b + 0

q =   - k     . 6   .   a x + 2   .   b

Conseguimos! Olha só nossa equação expressa de forma linear em x !

Passo 3

Agora vamos verificar os fluxos térmicos, usando a lei de Fourier… Fazendo a mesma coisa, beleza?

q x " =   - k   .   d T d x

q x " =   - k   .   d   ( a x 3 + b x 2 + c x   + d ) d x

q x " =   - k   .   3   .   a x 2 + 2   .   b x + c + 0

q x " =   - k   .   3   .   a x 2 + 2   .   b x + c

Agora vamos usar as condições dadas… Primeiro com x = 0 :

q x " =   - k   .   3   .   a   .   0 2 + 2   .   b .   0 + c

q x " =   - k   .   c

Agora com x = L :

q x " =   - k   .   3   .   a   .   L 2 + 2   .   b   .   L + c

Prontinho! Encontramos as equações do fluxo térmico nas duas superfícies!

Arrasamos!

Resposta

A taxa de geração de calor: q =   - k     . 6 a x + 2 b

Fluxo térmico, em x = 0 : q x " =   - k . c

Fluxo térmico, em x = L : q x " =   - k   . 3 a L 2 + 2 b L + c

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