Dois discos paralelos alinhados, com 0,4 m de diâmetro e separados por uma distância de 0,1 m, estão localizados em uma grande sala cujas paredes são mantidas a 300 K. Um dos discos é mantido a uma temperatura uniforme de 500 K, com uma emissividade de 0,6, enquanto o lado de trás do segundo disco encontra-se isolado termicamente. Se os discos são superfícies cinza e difusas, determine a temperatura do disco isolado.

Passo 1

Vamos lá!! Pegando tudo que o enunciado ta dizendo pra a gente e fazendo um esqueminha:

E queremos encontrar T 2 !! Vamos começar fazendo um balanço de energia na placa 2 :

q 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 21   + J 2 - J 3 1 A 2 F 23

Como a superfície 2 é isolada, então q 2 = 0 , e:

J 2 = E b 2 = σ T 2 4

Opaaa, nossa temperatura apareceu:

T 2 = J 2 σ 1 4

Agora a gente vai atrás das outras informações pra poder acha T 2 !!

Passo 2

Como a sala tem uma área muito maior que dos discos, então vamos considerar a sala como um corpo negro, com isso:

J 3 = E b 3 = σ T 3 4

Lembrando que σ = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4 :

J 3 = 5,67 × 10 - 8 × 300 4 = 459,3   W / m 2

Precisamos achar F 21 e F 23 , pela regra da soma:

F 21 + F 23 = 1

Agora usando a regra da reciprocidade:

F 21 = A 1 A 2 F 12

Como A 1 = A 2 :

F 21 = F 12

Temos dois discos paralelos coaxiais, para descobrir F 12 vamos recorrer a Figura 13.5 , para isso precisamos de:

r j L = 0,2 0,1 = 2

Temos que achar a curva 2 , e achar F i j no ponto onde a curva atravessa a linha vertical:

L r i = 0,1 0,2 = 0,5

Achamos F i j que é F 12 = F 21 = 0,62 e F 23 = 1 - F 21 = 1 - 0,62 = 0,38 !!!!

Podemos substituir todas as informações:

J 2 - J 1 1 A 2 × 0,62     + J 2 - 459,3 1 A 2 × 0,38 = 0

Podemos colocar A 2 em evidência e dar uma organizadinha no resto:

A 2 0,62 J 2 - J 1 + 0,38   J 2 - 459,3 = 0

A 2 pode ir embora e simplificando :

J 2 - 0,62   J 1 = 174,5

Ok, agora precisamos conhecer J 1 !

Passo 3

Vamos fazer outro balanço de energia, agora da superfície 1 :

q 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

Mas q 1 :

E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Vamos juntar isso e colocar A 1 em evidência:

A 1 E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 = A 1 J 1 - J 2 1 F 12 + J 1 - J 3 1 F 13

A 1 pode ir embora e ficamos com:

E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 = J 1 - J 2 1 F 12 + J 1 - J 3 1 F 13

Calculando E b 1 :

E b 1 = σ T 1 4 = 5,67 × 10 - 8 × 500 4 = 3543,8   W / m 2

Conhecemos F 12 = 0,62 , vamos usar a regra da soma:

F 12 + F 13 = 1

Ficamos com:

F 13 = 0,62 - 1 = 0,38

Vamos substituir os dados que a gente tem:

3543,8 - J 1 1 - 0,6 0,6 = J 1 - J 2 1 0,62 + J 1 - J 3 1 0,38

Simplificando:

2,50   J 1 - 0,68 J 2 = 5490,2  

Passo 4

Bingo!! Temos duas equações duas icógnitas:

J 2 - 0,62   J 1 = 174,5   ( 1 )

2,50   J 1 - 0,68 J 2 = 5490,2     ( 2 )  

Substituindo 2 em 1 :

J 2 - 0,62 5490,2 - 0,68   J 2 2,50 = 174,5   ( 1 )

Calculamos:

J 2 = 1815   W / m 2

Podemos achar T 2 :

T 2 = 1815 5,67 × 10 - 8 1 4

Calculando:

T 2 = 423   K

Aweeeee!!!

Resposta

T 2 = 423   K

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